Barnesintegral

Inom matematiken är en Barnesintegral eller Mellin–Barnesintegral en kurvintegral som innehåller produkter av gammafunktioner. De introducerades av Ernest William Barnes (1908, 1910). De är nära relaterade till generaliserade hypergeometriska serier.

Integralen tas vanligen längs en kurva som är en deformering av imaginära axeln, går runt polerna av faktorerna av formen Γ(a + s) och till höger om polerna av Γ(a − s).

Hypergeometriska serier

Hypergeometriska funktionen ges av Barnesintegralen (Barnes 1908)

2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( b ) 1 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( − s ) Γ ( c + s ) ( − z ) s d s . {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds.}

Barnes lemmas

Barnes första lemma (Barnes 1908) säger att

1 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( c − s ) Γ ( d − s ) d s = Γ ( a + c ) Γ ( a + d ) Γ ( b + c ) Γ ( b + d ) Γ ( a + b + c + d ) . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c-s)\Gamma (d-s)ds={\frac {\Gamma (a+c)\Gamma (a+d)\Gamma (b+c)\Gamma (b+d)}{\Gamma (a+b+c+d)}}.}

Detta är en analogi av Gauss 2F1-formel och samtidigt en utvidgning av Eulers betaintegral. Integralen ovan kallas ibland för Barnes betaintegral.

Barnes andra lemma (Barnes 1910) säger att

1 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ Γ ( a + s ) Γ ( b + s ) Γ ( c + s ) Γ ( 1 − d − s ) Γ ( − s ) Γ ( e + s ) d s {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c+s)\Gamma (1-d-s)\Gamma (-s)}{\Gamma (e+s)}}ds}
= Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( c ) Γ ( 1 − d + a ) Γ ( 1 − d + b ) Γ ( 1 − d + c ) Γ ( e − a ) Γ ( e − b ) Γ ( e − c ) {\displaystyle ={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)\Gamma (1-d+a)\Gamma (1-d+b)\Gamma (1-d+c)}{\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)\Gamma (e-c)}}}

där e = a + b + c − d + 1. Detta är en analogi av Saalschützs formel.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Barnes integral, 3 mars 2014.
  • Barnes, E.W. (1908). ”A new development of the theory of the hypergeometric functions”. Proc. London Math. Soc. s2-6: sid. 141–177. doi:10.1112/plms/s2-6.1.141. 
  • Barnes, E.W. (1910). ”A transformation of generalised hypergeometric series”. Quarterly Journal of Mathematics 41: sid. 136–140. 
  • Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Basic hypergeometric series. "96" (2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8