Betafunktionen är en speciell funktion som definieras som
![{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72079677c102d13255997ca503995071751bc415)
om
. Funktionen har studerats av Euler och Legendre.
Egenskaper
Betafunktionen är symmetrisk:
[1]
Den kan skrivas på flera ekvivalenta sätt:
[1]
[2]
[2]
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7827793688fe4b3bf3c86fdcb918eee245217e46)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f46f1328511209294a22d18d6532deb51b6b58)
.
Betafunktionen har flera intressanta egenskaper såsom:
![{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y+1)={y \over x+y}\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540ee6181f12103a41aeb6764c91938bdab596df)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d847c8c203a71ab37492a3a5272cef968c506db)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999c12724016ce59cb63622ed64371a934708fe3)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,x)=2^{1-2x}B\left({\frac {1}{2}},x\right).\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a238b797242d4e96cf0177e011a7260770ed6d29)
Tillväxt
För stora värden på x och y ger Stirlings formel
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d479b3cb15d517acadeb32ce045d447a9daa5161)
Om däremot x är stort och y fixerat är
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f62b080b80dfab1dcf71e91383ca2253bffc03d)
Derivata
Betafunktionens derivata är
![{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde901af8cf39d727d388bf1ae56d662a341b9d4)
där
är digammafunktionen.
Ofullständiga betafunktionen
Ofullständiga betafunktionen definieras som
![{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf96febf9e4d2015d6aac8a68844b19b2fd9e3c)
Då x = 1 blir den den ordinära betafunktionen.
Den regulariserade ofullständiga betafunktionen definieras som
![{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617920a32e0e3e903b4fa8781c15f04014104d6b)
För heltal a och b får man med partialintegration
![{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{\binom {a+b-1}{j}}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e27b40582b443c09fc82d751cf80759d619b9f2)
Egenskaper
![{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09e8c4cea315a8dcd79c2e1a834cd830a3aa60b)
![{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5467ac72209d5333631da260e0be1ea0636bb2e2)
![{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8299bb4d5e5934da1d9ba1faa1b806ad92def9)
.
Referenser
Noter
- ^ [a b] Davis (1972) 6.2.2 p.258
- ^ [a b] Davis (1972) 6.2.1 p.258
Källor
- Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), ”26. Probability functions”, i Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, s. 925-995, ISBN 978-0-486-61272-0
- Davis, Philip J. (1972), ”6. Gamma function and related functions”, i Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), ”Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials”, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Betafunktionen.Bilder & media
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | Gammafunktionen · Betafunktionen · Digammafunktionen · Trigammafunktionen · Polygammafunktionen · Ofullständiga gammafunktionen · Barnes G-funktion | | Zeta- och L-funktioner | Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|