Heavisides expansionsregel

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Heavisides expansionsregel är inom matematiken en metod för att bestämma koefficienter vid partialbråksuppdelning, uppkallad efter Oliver Heaviside.

Heavisides expansionsregel kan användas då faktorerna i nämnaren har formen ${\displaystyle (x-a)^{n}\,}$, och då täljarens gradtal är strikt mindre än nämnarens. Om så inte är fallet kan polynomdivision utföras.

Den vanliga ansatsen för ett sådant bråk är

${\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {A_{0}}{(x-a)^{n}}}+{\frac {A_{1}}{(x-a)^{n-1}}}+\cdots +{\frac {A_{n-1}}{x-a}}\,.}$

För att bestämma den första koefficienten sätts ${\displaystyle x=a\,}$ in i täljaren. För att bestämma den andra koefficienten sätts ${\displaystyle x=a\,}$ in i ${\displaystyle P'(x)\,}$, det vill säga täljarens derivata. Generellt gäller, för den k:te koefficienten:

${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{k!}}\,{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\bigl (}(x-a)^{n}P(x){\bigr )}{\bigg |}_{x=a}={\frac {P^{(k)}(a)}{k!}}\,.}$

Betrakta ett bråk där nämnarens gradtal är fyra. För ett sådant bråk gäller ansatsen

${\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-a)^{4}}}={\frac {A_{0}}{(x-a)^{4}}}+{\frac {A_{1}}{(x-a)^{3}}}+{\frac {A_{2}}{(x-a)^{2}}}+{\frac {A_{3}}{x-a}}.}$

Börja med att multiplicera båda led med ${\displaystyle (x-a)^{4}}$

${\displaystyle P(x)=A_{0}+A_{1}\left(x-a\right)+A_{2}\left(x-a\right)^{2}+A_{3}\left(x-a\right)^{3}.}$

(1)

Koefficienterna ${\displaystyle A_{0}}$, ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$ och ${\displaystyle A_{3}}$ bestäms sedan genom att successivt derivera båda led i denna identitet och sätta in ${\displaystyle x=a}$.

1. Sätts ${\displaystyle x=a}$ in i båda led i (1) fås direkt att

   ${\displaystyle P(a)=A_{0}\,}$.

2. För att få fram ${\displaystyle A_{1}}$ deriveras först båda leden i (1) med avseende på ${\displaystyle x}$

   ${\displaystyle P'(x)=A_{1}+2A_{2}(x-a)+3A_{3}(x-a)^{2}\,}$

   och när ${\displaystyle x=a}$ ger detta att

   ${\displaystyle P'(a)=A_{1}\,.\,}$

3. Koefficienten ${\displaystyle A_{2}}$ bestäms genom att derivera båda led i (1) ytterligare en gång

   ${\displaystyle P''(x)=2A_{2}+6A_{3}(x-a)\,}$

   och sedan sätta in ${\displaystyle x=a}$

   ${\displaystyle P''(a)=2A_{2}\quad \Leftrightarrow \quad A_{2}={\frac {P''(a)}{2}}\,.}$

4. Till slut, för att få ${\displaystyle A_{3}}$ deriveras ekvation (1) en sista gång

   ${\displaystyle P'''(x)=6A_{3}\,}$

   och låt därefter ${\displaystyle x=a}$

   ${\displaystyle P'''(a)=6A_{3}\quad \Leftrightarrow \quad A_{3}={\frac {P'''(a)}{6}}\,.}$