Ett exempel på instängningssatsen, g=blå kurva, f=svart kurva och h=röd kurva. Svart kurva visar grafen till
Instängningssatsen, även satsen om de två polismännen, polislemmat, klämsatsen, är en sats (ibland sedd som ett lemma) inom matematisk analys. Satsen innebär att om funktionen f är större än g men mindre än h (g < f < h), i ett visst intervall, måste f vara lika med g och h om både h och g närmar sig en punkt p.
Satsen kan skrivas
Låt I vara ett intervall som innehåller punkten a. Låt f, g, och h vara funktioner definierade på intervallet I, utom möjligtvis för punkten a. Antag att för varje x i I skilt från a
och att
Då måste
Namnet satsen om de två polismännen härstammar från jämförelsen att de två polismännen Gustav (g) och Harald (h) med boven Frans (f) mellan sig rör sig mot fängelset; då Gustav och Harald närmar sig fängelset har Frans ingen annanstans att ta vägen än att följa med.
Exempel
Funktion av en variabel
Olikheten illustrerad på enhetscirkeln
Gränsvärdet
kan bevisas med instängningssatsen. För 0 < x < π/2 kan det visas att
Division med sin(x) ger
och instängningssatsen ger då
och således är
Funktion av två variabler
Instängningssatsen kan användas även för funktioner av flera variabler. I till exempel fallet f : R2 → R blir funktionsvillkoren
för alla (x, y) i en omgivning till gränsvärdespunkten. Ett villkor är att målfunktionen verkligen har ett gränsvärde i den givna punkten. Satsen kan därför användas för att visa att en funktion har ett gränsvärde i en given punkt, men kan inte användas för att visa att gränsvärdet inte existerar. [1]