Jämna och udda funktioner

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-03)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.
ƒ(x) = x2 är ett exempel på en jämn funktion.
Funktionen y = x4 - 4x ² + 3 är en summa av termer av jämn potens, vilket gör den till en jämn funktion.
Grafen av y = x 3 {\displaystyle y=x^{3}} , en udda funktion.
Funktionen y = x 3 + 1 {\displaystyle y=x^{3}+1} är varken udda eller jämn.

Jämna och udda funktioner är matematiska funktioner som uppfyller vissa symmetrivillkor. En funktion ƒ(x) är jämn om ƒ(-x) = ƒ(x), udda om ƒ(-x) = -ƒ(x).

Jämna funktioners grafer är alltså symmetriska under spegling i y-axeln, medan udda funktioners är symmetriska under 180° rotation kring origo.

Namnen motiveras bland annat av att funktionerna x n {\displaystyle x^{n}} för jämna n är jämna funktioner och udda för udda n, samt av att maclaurinutvecklingen av en jämn funktion bara har termer med jämna exponenter, och motsvarande för udda.

Exempel

Jämna funktioner:

  • f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}\,}
  • f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=\left|x\right|}
  • f ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)=\cos(x)\,}
  • Dirichlets funktion

Udda funktioner:

  • f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x\,}
  • f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}\,}
  • f ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle f(x)=\sin x\,}

Egenskaper

  • Den enda funktionen som är både jämn och udda är den konstanta funktionen f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} .
  • Summan av en udda och en jämn funktion är varken udda eller jämn, såvida inte en av funktionerna är konstant noll.
  • Summan av två udda funktioner är udda, och varje multipel av en udda funktion är udda.
  • Summan av två jämna funktioner är jämn, och varje multipel av en jämn funktion är jämn.
  • Produkten av både två udda eller två jämna funktioner är en jämn funktion.
  • Produkten av en udda och en jämn funktion är en udda funktion.
  • Kvoten av både två udda eller två jämna funktioner är jämn.
  • Kvoten av en jämn och en udda funktion är udda.
  • En sammansatt funktion av två udda funktioner är udda. En sammansättning av två jämna funktioner är jämn.
  • En sammansatt funktion av en udda och en jämn funktion är jämn.
  • Derivatan av en jämn funktion är udda (förutsatt att funktionen är deriverbar).
  • Derivatan av en udda funktion är jämn (förutsatt att funktionen är deriverbar).
  • Integralen av en udda funktion från -a till a är noll, dvs om f är udda:
∫ − a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)dx=0}
  • Integralen av en jämn funktion från -a till a är två gånger integralen från noll till a, dvs om g är jämn:
∫ − a a g ( x ) d x = 2 ∫ 0 a g ( x ) d x {\displaystyle \int _{-a}^{a}g(x)dx=2\int _{0}^{a}g(x)dx}

Se även

  • Paritet