Jämna och udda funktioner
![]() | Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-03) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Function_x%5E2.svg/190px-Function_x%5E2.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Curve2.svg/190px-Curve2.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/X_Cubed.svg/190px-X_Cubed.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Function_x%5E3%2B1.svg/190px-Function_x%5E3%2B1.svg.png)
Jämna och udda funktioner är matematiska funktioner som uppfyller vissa symmetrivillkor. En funktion ƒ(x) är jämn om ƒ(-x) = ƒ(x), udda om ƒ(-x) = -ƒ(x).
Jämna funktioners grafer är alltså symmetriska under spegling i y-axeln, medan udda funktioners är symmetriska under 180° rotation kring origo.
Namnen motiveras bland annat av att funktionerna för jämna n är jämna funktioner och udda för udda n, samt av att maclaurinutvecklingen av en jämn funktion bara har termer med jämna exponenter, och motsvarande för udda.
Exempel
Jämna funktioner:
- Dirichlets funktion
Udda funktioner:
Egenskaper
- Den enda funktionen som är både jämn och udda är den konstanta funktionen .
- Summan av en udda och en jämn funktion är varken udda eller jämn, såvida inte en av funktionerna är konstant noll.
- Summan av två udda funktioner är udda, och varje multipel av en udda funktion är udda.
- Summan av två jämna funktioner är jämn, och varje multipel av en jämn funktion är jämn.
- Produkten av både två udda eller två jämna funktioner är en jämn funktion.
- Produkten av en udda och en jämn funktion är en udda funktion.
- Kvoten av både två udda eller två jämna funktioner är jämn.
- Kvoten av en jämn och en udda funktion är udda.
- En sammansatt funktion av två udda funktioner är udda. En sammansättning av två jämna funktioner är jämn.
- En sammansatt funktion av en udda och en jämn funktion är jämn.
- Derivatan av en jämn funktion är udda (förutsatt att funktionen är deriverbar).
- Derivatan av en udda funktion är jämn (förutsatt att funktionen är deriverbar).
- Integralen av en udda funktion från -a till a är noll, dvs om f är udda:
- Integralen av en jämn funktion från -a till a är två gånger integralen från noll till a, dvs om g är jämn:
Se även
- Paritet