En kolonnvektor (kolumnvektor) eller kolonnmatris är inom linjär algebra en m × 1 matris, det vill säga, en matris bestående av en enda kolonn eller vertikalt orienterad följd av m element:
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4aa1696ae4b853322f080d8b2ef2b66a7107d5)
En radvektor eller radmatris är en 1 × m matris, det vill säga, en matris bestående av en enda rad av element:
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa875a71923977ec58f6e2fa08998325e1c090f8)
Transponatet (indikerat med T) av en radvektor är en kolonnvektor:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381ac0f98114757add956376199c539a0578cfce)
och transponatet av en kolonnvektor är en radvektor:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279d90a35d252092a04352147884287d0190cdea)
Notation
För att göra det möjligt att skriva en kolonnvektor på en rad, kan den skrivas som det transponerade värdet av motsvarande radvektor:
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce79945c3a8231fe6d9ff37c6fcffdcddc35bc3e)
eller
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdda5b2fe677031ee10fc93c13edf0ca9a5d42a9)
| Radvektor | Kolonnvektor |
Standard matrisnotation (radlista, inga komman, transponeringstecken) | | |
Alternativ notation 1 (komman, transponeringstecken) | | |
Alternativ notation 2 (komman, semikolon, inga transponeringstecken) | | |
Operationer
Matrismultiplikation innefattar multiplikation av en radvektor tillhörande en matris och en kolonnvektor tillhörande en annan matris.
Skalärprodukten av två vektorer a and b är ekvivalent med matrisprodukten av a och b tolkade som en 1 × m matris respektive en m × 1 matris.
![{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2382cec63cbd8c549af06d60f9a12bbba408cf49)
vilket också är ekvivalent med matrisprodukten av radvektorn b och kolonnvektorn a,
![{\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9232a1276bd9f11b7f80becaef8cda2229fd5971)
Matrisprodukten av en kolonnvektor a och en radvektor b (dyadisk produkt) är ett exempel på den mera generella tensorprodukten. Matrisprodukten av kolonnvektorrepresentationen av a och radvektorrepresentationen b ger komponenterna av deras dyadiska produkt som
![{\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a54be2f7f47e35966790ea29ff1e61bfddd507b)
vilket inte är ekvivalent med matrisprodukten av kolonnvektorrepresentationen av b och radvektorrepresentationen av a:
![{\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61bb9d25aa602b87b43ab0ea1a0d68a5a10bab7)
I detta fall är de två vektorerna olika; de är varandras transponat.
Se även
- Kovarians och kontravarians (vektorer)
Referenser
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Row and column vectors, 16 juni 2016.