Inom matematiken är Mangoldtfunktionen en aritmetisk funktion uppkallad efter den tyska matematikern Hans von Mangoldt.
Definition
Mangoldtfunktionen, vanligen betecknad med Λ(n), definieras som
![{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{om }}n=p^{k}{\mbox{ för något primtal }}p{\mbox{ och heltal }}k\geq 1,\\0&{\mbox{annars.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3378f6f52d7f3233e4f6abdcab8b8cdda8a9b227)
Dess första värden är
![{\displaystyle \log 1,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,\log 1,\log 7,\log 2,\log 3,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa6e2f74e32d3292bbf7bfe06988f87b8a35b2d)
- A014963 – talföljd på OEIS
Den är ett viktigt exempel av an aritmetisk funktion som är varken multiplikativ eller additiv.
Mangoldtfunktionen uppfyller identiteten
![{\displaystyle \log n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c7c730f26baae0bf02f69e17bbdcf6c99d8ef1)
Tjebysjovs funktion ψ(x) är relaterad till Mangoldtfunktionen enligt
![{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9f73f28b91d91af2f0f8e927d24be3160d4f1a)
Dirichletserier
Mangoldtfunktionen är väldigt viktig inom teorin av Dirichletserier, speciellt inom teorin av Riemanns zetafunktion. En formel där den förekommer är
![{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad90fd291190ea8a116f9cd69593498a7e176f3)
för
. Den logaritmiska derivatan är då
![{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46729a048dcb31474bd08539c54266102b510f4)
Dessa är specialfall av en mer allmän relation för Dirichletserier. Om
![{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7905e56cb9d64de0bc02dcaea2e5ac1e767b14)
för en fullständigt multiplikativ funktion
, och om serien konvergerar för
, är för
![{\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b3767ea5e510d7a081c76285130dced54b0494c)
Exponentiella serier
Hardy och Littlewood undersökte serien
![{\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a7475c3f6fe604e3eb95cfe70afd01cd0690e1)
då
. Under antagandet av Riemannhypotesen demonstrerade de att
![{\displaystyle F(y)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad1b7f46179b03e5224aaba66c9617782af04ff)
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Von Mangoldt function, 22 januari 2014.
- Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
- S.A. Stepanov (2001), ”Mangoldt function”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- Chris King, Primes out of thin air (2010)
- Heike, How plot Riemann zeta zero spectrum in Mathematica? (2012)