Ptolemaios sats är en sats inom euklidisk geometri om sambandet mellan de fyra sidorna och de två diagonalerna i en cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan inskrivas i en cirkel). Satsen är uppkallad efter den grekiske astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios som beskrev den i Almagest bok 1, kapitel 10.[1] Ptolemaios utnyttjade satsen för att beräkna kordor till en tabell som han använde i sitt astronomiska arbete. Satsen säger:
Om en fyrhörning är cyklisk så är produkten av diagonalernas längder lika med summan av produkterna av de motstående sidornas längder. För den cykliska fyrhörningen (se figur till höger) gäller alltså:[2]
Omvändningen till satsen gäller också: Om produkten av en fyrhörnings diagonaler är lika med summan av produkterna av de motstående sidorna, så är fyrhörningen cyklisk.
Bevis
Figur 1, 2 och 3.
Ptolemaios sats kan bevisas på flera olika sätt.
Bevis med likformiga trianglar (Ptolemaios metod)
Vi har en cyklisk fyrhörning . I en sådan är vinkeln mellan en sida och en diagonal lika med vinkeln mellan den motstående sidan och den andra diagonalen. Alltså är (blå) och (grön) i figur 1. Välj punkten på så att (orange). Eftersom så är . Vi har nu två par av likformiga trianglar: dels och (figur 2) och dels och (figur 3). Eftersom trianglarna är likformiga får vi ur figur 2 att
och ur figur 3 får vi på samma sätt att
Genom att addera dessa två uttryck får vi
Men , vilket ger
Ett trigonometriskt bevis
Beteckningarna a, b, c, d på sidorna kan förvirra så bortse från dem. (Vinkeln α är den till b motstående vinkeln i O.)
Om vi med avser den omskrivna cirkelns medelpunkt, med dess radie och med , och avser de tre vinklarna , respektive i figuren till höger ser vi att:
,
,
,
,
och
Formeln i satsen kan alltså, efter att vi förkortat bort , skrivas som:
Genom att använda additionsformlerna och samt trigonometriska ettan i formen fås att båda sidor är lika med
och satsen är därmed bevisad.
Referenser
^Heinz Dieter Ebbinghaus et.al., 2012, Numbers, sid. 82. ISBN 9781461210054.
^Weisstein, Eric W., "Ptolemy's Theorem", MathWorld. (engelska)
Externa länkar
Wikimedia Commons har media som rör Ptolemaios sats.