Inom matematiken är Webers modulära funktioner en familj av tre modulära funktioner f, f1 och f2, studerade av Heinrich Weber.
Definition
Låt
där τ är ett komplext tal i övre planhalvan. Då definieras Webers funktioner som
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-1/48}\prod _{n>0}(1+q^{n-1/2})=e^{-2\pi i/48}{\frac {\eta {\big (}{\tfrac {1}{2}}(\tau +1){\big )}}{\eta (\tau )}}={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {1}{2}}\tau {\big )}\eta (2\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-1/48}\prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {1}{2}}\tau {\big )}}{\eta (\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{1/24}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\sqrt {2}}\,{\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c8ea897c45c5a4c3130e6a873b809430456ffd)
där η(τ) är Dedekinds etafunktion. Notera att direkt av definitionerna följer att
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611722748d3f440255dbbc3549a09d9af121c7e1)
Transformationen τ → –1/τ fixerar f och utbyter f1 och f2.
Relation till Jacobis thetafunktioner
Låt argumenten av Jacobis thetafunktioner vara
. Då är
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{3}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{4}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {\frac {\theta _{2}(0,q)}{\eta (\tau )}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8fe31fe9e52ee9896f2f037c3f893db6f6346e)
Av detta följer
![{\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{8}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{8}={\mathfrak {f}}(\tau )^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d490a5adb40573546f6838fe6e5d0101ccf5561)
som är en enkel konsekvens av den välkända identiteten
![{\displaystyle \theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{4}(0,q)^{4}=\theta _{3}(0,q)^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746a503d671eac044670c78b40762c8059a28685)
Relation till j-invarianten
De tre rötterna av den kubiska ekvationen
![{\displaystyle j(\tau )={\frac {(x+16)^{3}}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c49c7ea3fae55ffabf9f40ece52eac9033b7c8)
där j(τ) är j-invarianten, ges av
. Eftersom
![{\displaystyle j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(0,q)^{8}+\theta _{3}(0,q)^{8}+\theta _{4}(0,q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q)\theta _{4}(0,q){\Big )}^{8}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98fa1a10f31c103effb3dd96f3f795bb8be4995)
är också
![{\displaystyle j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042df965d1bb2c85d41b5fd98963878a27a156f5)
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weber modular function, 9 mars 2014.
- Weber, Heinrich Martin (1981) [1898] (på tyska), Lehrbuch der Algebra, "3" (3rd), New York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4, http://www.archive.org/details/lehrbuchderalgeb03webeuoft
- Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), ”On the singular values of Weber modular functions” (på engelska), Mathematics of Computation 66: 1645–1662, doi:10.1090/S0025-5718-97-00854-5, MR 1415803