Crossbar (Pasch) teoremi

Geometride Crossbar (Pasch) teoremi (bazen Kesen Işın Teoremi olarak da adlandırılır), ${\displaystyle AD}$ ışını ${\displaystyle AC}$ ışını ile ${\displaystyle AB}$ ışını arasındaysa, ${\displaystyle AD}$ ışınının ${\displaystyle BC}$ doğrusu parçasını keseceğini belirtir.^[1]

Bu sonuç, aksiyomatik düzlem geometrisindeki daha derin sonuçlardan biridir.^[2] Genellikle ispatlarda, üçgenin içinde uzanan ve üçgenin tepe noktasından geçen bir çizginin, üçgenin bu köşenin karşısındaki kenarıyla buluştuğu ifadesini doğrulamak için kullanılır. Bu özellik, Öklid tarafından kanıtlarında açık bir gerekçe olmaksızın sıklıkla kullanılmıştır.^[3]

Bir ikizkenar üçgenin taban açılarının eş olduğu teoremi kanıtının bazı modern uygulamaları (Öklid'in değil) şu şekilde başlar: ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle AC}$ kenarı ${\displaystyle AB}$ kenarı ile eş bir üçgen olsun. ${\displaystyle A}$ açısının açıortayını çizin ve ${\displaystyle D}$ noktası, ${\displaystyle BC}$ kenarını kestiği nokta olsun. Ve bunun gibi farklı örnekler de mevcuttur. ${\displaystyle D}$ noktasının varlığının gerekçesi, genellikle belirtilmemiş crossbar teoremidir. Bu özel sonuç için, crossbar teoreminin kullanılmasını gerektirmeyen başka kanıtlar da mevcuttur.^[4]

• Naime KARAKUŞ BAĞCI (Haziran 2017), Pasch Geometri Üzerine (PDF) (Yüksek Lisans Tezi), Afyon Kocatepe Üniversitesi 
• Erkan ERÇOLAK (Haziran 2017), Mutlak Geometride Eşlik Aksiyomları (PDF) (Yüksek Lisans Tezi), Afyon Kocatepe Üniversitesi 

• Blau, Harvey I. (2003), Foundations of Plane Geometry, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-047954-3 
• Greenberg, Marvin J. (1974), Euclidean and Non-Euclidean Geometries, San Francisco: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0454-4 
• Kay, David C. (1993), College Geometry: A Discovery Approach, New York: HarperCollins, ISBN 0-06-500006-4 
• Moise, Edwin E. (1974), Elementary Geometry from an Advanced Standpoint, 2., Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-04793-4