Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir En tam sayı dizisidir. (OEIS'de A122045 dizisi).
![{\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef01280cc39c7321fbfc295a5babae89a6ed906)
Burada
, hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:
![{\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e64bb4cd81a3047ab55c6d9f5d66147e764421f)
Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.
Örnekler
Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, (OEIS'de A028296 dizisi) değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:
E0 | = | 1 |
E2 | = | −1 |
E4 | = | 5 |
E6 | = | −61 |
E8 | = | 1385 |
E10 | = | -50 521 |
E12 | = | Error in {{değer}}: parametre 1 geçerli bir sayı değil. |
E14 | = | -199 360 981 |
E16 | = | Error in {{değer}}: parametre 1 geçerli bir sayı değil. |
E18 | = | -2 404 879 675 441 |
Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir (OEIS'de A000364 dizisi). Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.
İkinci tür Stirling sayıları
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.[1][2]
![{\displaystyle E_{r}=2^{2r-1}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(k)}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502748003706fc9bb13006b9bbfc38a4fd818947)
![{\displaystyle E_{2l}=-4^{2l}\sum _{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot {\frac {S(2l,k)}{k+1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cb27e4a4e4503fa9e473ef540f20d059a6d972)
Burada
ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve
yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.
Çift toplam
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.
![{\displaystyle E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da116c29e42816d141ecb273df8f2de348772d8)
![{\displaystyle E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227ca57e8b2e05a0ef587050683059a5fad76002)
Yinelemeli toplam
Euler sayıları için açık bir formül:[3]
![{\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4d9fd81f89f8413d404bc4ea63530908417307)
Burada i, i2 = −1 ile hayali birimi göstermektedir.
Bölümlerin toplamı
Euler sayısı E2n, 2n'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.[4]
![{\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbde2a76856bfe15f94d0a2bd0daa6ceed17b7c8)
2n − 1'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,[5]
![{\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c73d6dc96b5165940ef73c9b6a64e43d3486e8c)
Her iki durumda da K = k1 + ··· + kn ve
![{\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65c7383b9f4e97462957934dc731987823e6eae)
çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, ks üzerindeki toplamları sırasıyla 2k1 + 4k2 + ··· + 2nkn = 2n ve k1 + 3k2 + ··· + (2n − 1)kn = 2n − 1.
Örnek olarak,
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eebe65e17bf7a388a247283db84ec59f60ed065)
Determinant
E2n determinant tarafından verilmektedir.
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fdbac6c55a0760f3163eeb56bcdc953d9f8151)
İntegral
E2n ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1628941c1d84b5ab1f5475623da7fc2d24469b03)
Kongrüanslar
W. Zhang,[6] herhangi bir asal
için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.
![{\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{eğer }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{eğer }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b6b6bb7d9e60b4678e4200cd331fe7e996609f)
W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir
asal ve
tam sayı için,
![{\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af6d69bc8c7e35bad5a0381cf295d251b01b320)
burada
, Euler'in totient işlevidir.
Asimptotik yaklaşım
Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.
![{\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496e620eedd34b8c2b0882344abc01b0e2b3cc95)
Euler zikzak sayıları
Taylor serisi
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66a54beec8a72e3dca8cc46881306175032c5d9)
An ile başlayan Euler zikzak sayıları
- 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (OEIS'de A000111 dizisi)
Hepsi için n,
![{\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a52367d2c9ed8d1481beefe83ecd6de0041621a)
burada En Euler sayısıdır; ve tüm tek n için,
![{\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442dcb22f5ad7bd024cf57893ebf500c279b6a7f)
Bn Bernoulli sayısıdır.
Her n için,
![{\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91405e38cbf2383aa643c70fb05a77073ae02eca)
Kaynakça
- ^ Jha, Sumit Kumar (2019). "A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number". Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 8 (4): 385-387. doi:10.2140/moscow.2019.8.389. 31 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021.
- ^ Jha, Sumit Kumar (15 Kasım 2019). "A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind". 16 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- ^ Tang, Ross (11 Mayıs 2012). "An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series" (PDF). 9 Nisan 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
- ^ Vella, David C. (2008). "Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers". Integers. 8 (1): A1. 1 Mayıs 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021.
- ^ Malenfant, J. (2011). "Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers". arXiv:1103.1585 $2.
- ^ Zhang, W.P. (1998). "Some identities involving the Euler and the central factorial numbers" (PDF). Fibonacci Quarterly. 36 (4): 154-157. 13 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 13 Temmuz 2021.
Dış bağlantılar
|
---|
Çalışmalar | - Mechanica
- Introductio in analysin infinitorum
- Institutiones calculi differentialis
- Institutiones calculi integralis
- Letters to a German Princess
| |
---|
Kavramlar ve teoriler | |
---|
Diğer | |
---|