Matematiksel finans

Matematiksel finans, finans problemlerinin matematiksel modellenmesiyle ilgilenen uygulamalı matematiğin ve finansın ortak bir alt dalıdır. Sıklıkla, nicel finans ve kantitatif finans adlarıyla da anılır. Kullanımı çok yaygın olmasa da finansal matematik olarak da bilinir. Hesaplamalı finans ve finans mühendisliği ile büyük ölçüde örtüşür. Finansal matematiğin altında yatan teorileri de kapsayan finansal iktisat alanıyla da yakın bir bağlantısı vardır.

Fransız matematikçi Louis Bachelier'in 1900'de "Théorie de la spéculation" başlığıyla yazdığı doktora tezi^[1] matematiksel finansın ilk ciddi çalışması olarak genel kabul görmektedir. 1970li yıllarda Fischer Black, Myron Scholes and Robert Mertonun opsiyon fiyatlandırma teorisine yönelik ve Merton ve Scholes'un 1997'de ekonomi alanında Nobel Ödülü^[2] almasına vesile olan çalışmalarından sonra, matematiksel finans daha ciddi bir disiplin olma yolunda hız kazanmıştır.

Türev ürünlerinin fiyatlandırılması, risk ve portföy yönetimi finansın ileri derecede nicel teknikler gerektiren alt dallarıdır. Bu iki alanın en temel farkı, türev ürünlerinin fiyatlandırılmasında riske duyarsız olasılık kullanılırken risk ve portföy yönetiminde fiili, yani gerçek, olasılık kullanılmasıdır. Bu iki ayrı olasılığın ayrımını vurgulamak amacıyla türev ürünlerinin fiyatlandırılmasında ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ve risk ve portföy yönetiminde ise ${\displaystyle \mathbb {P} }$ notasyonu kullanılır.

Türev ürünlerinin fiyatlandırılmasının amacı bir arz ve talebe bağlı olarak fiyatı değişen likit bir varlığın üzerine yazılan türev ürünlerinin hem alıcı hem de satıcı tarafından adil bir fiyatını bulmaktır. Bu türev ürünlerine örnek olarak egzotik opsiyonlar, ipoteğe dayalı menkul kıymetler, dönüştürülebilir tahviller vs. verilebilir. Adil bir fiyata ulaşmak için kullanılan teknikler elde olan bilgiyi geleceğe taşımaya vesile olan tekniklerdir. Bu sebeple, Ito hesabı, Brown hareketi, kısmi diferansiyel denklemler ve martingale süreçler sıklıkla kullanılan teorik araçlardır. Nümerik analiz içinde yer alan integral ve diferansiyel denklem hesaplama yöntemlerine ve Monte Carlo simülasyonuna modelleri programlamak için sıklıkla başvurulur.

Bu alandaki ilk çalışma Louis Bachelier tarafından yazılan doktora tezinde Brown hareketinin opsiyon fiyatlandırmasına yönelik uygulamasında görülür. Bachelier, Fransa borsasındaki hisse seneti fiyatlarının logaritmalarındaki zaman serisi değişimlerini bir rastgele yürüyüş olarak varsayıp, hisse senedi fiyatı dinamiğini bugünkü bilinen haliyle aritmetik Brown hareketi olarak modellemiştir.^[3] Uzun bir aradan sonra, Fischer Black ve Myron Scholes'un,^[4] (Robert Merton'un da ciddi katkılarıyla^[5]) geometrik Brown hareketini opsiyon fiyatlandırmasında kullanması matematiksel finans açısından ciddi bir süreci başlatmış oldu. Daha sonraları, Harrison ve Pliska tarafından varlık fiyatlamanın ilk temel teoremi kanıtlanmıştır ve martingale süreçler vesilesiyle ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ notasyonu literatüre girmiştir.