Savitch teoremi

Savitch Teoremi, uzay karmaşıklığını konu edinen ve bu hususta sonuca varan en eski teoremlerden biridir. Belirlenimsiz makinelerin belirlenimli makinelere dönüştürülmesinde, gerekli olan uzay karmaşıklığını incelemiştir ve beklenenden çok daha küçük uzay gereksinimi olduğunu ortaya koymuştur. Daha formal bir ifadeyle, ${\displaystyle f(n)}$ uzay kullanan bir belirlenimsiz Turing makinesi (nondeterministic turing machine ${\displaystyle NTM}$), belirlenimli bir turing makinesine (deterministic turing machine ${\displaystyle TM}$) dönüştürülürken ${\displaystyle f(n)^{2}}$ uzay gerektirir.^[1]

Herhangi bir ${\displaystyle f:N\to R^{+}}$ fonksiyonu için, ${\displaystyle f(n)\geq n}$ gereksinimi karşılamak koşuluyla,
${\displaystyle NSPACE(f(n))\subseteq SPACE(f(n))}$ dir.

${\displaystyle f(n)}$ uzay kullanan bir ${\displaystyle NTM}$ simule ederken, akla ilk gelen yol ${\displaystyle NTM}$'nin tüm kollarını tek tek hesaplayarak, işlemi ilerletmektir. Bu yolu kullanırken, işlenen kola ait bilgilerin tutulması gerekmektedir. ${\displaystyle f(n)}$ uzay kullanan bir kol, en kötü ihtimalle ${\displaystyle 2^{O(f(n))}}$ adımda, hesaplanabilir. Bütün kolların sırayla hesaplanması ise, hepsinin kayıt altında tutulması manasına gelir ki bu ${\displaystyle 2^{O(f(n))}}$ uzay gerektirir. Üssel bir ilişki kuran bu yöntem, Savitch teoreminin iddia ettiği uzaydan çok daha fazla uzay gerektirmiş olur.

Bunun yerine, çözümü yinelemeli bir algoritma olan, yieldability probleminin yöntemi uygulanmıştır. ${\displaystyle c_{1}}$'i başlangıç, ${\displaystyle c_{2}}$'yi kabul konfigurasyonu ve t'yi ${\displaystyle NTM}$'nin kullanabileceği maksimum adım sayısı olarak kabul edersek, yieldability probleminin çözümü, ${\displaystyle NTM}$'nin verilen katarı kabul edip etmediğine karar verebilir.

Yinelemeli bir algoritma mantığıyla çözülebilecek olan yieldability probleminin çözümünde aşağıdaki algoritma kullanılır.
CANYIELD(${\displaystyle c_{1},c_{2},t}$) #${\displaystyle c_{1}vec_{2}}$ başlangıç ve kabul konfigürasyonları, ${\displaystyle t}$ adım sayısı


• 1. Eğer ${\displaystyle t=1}$ ise ${\displaystyle c_{1}=c_{2}}$ olup olmadığına veya ${\displaystyle c_{1}}$'den ${\displaystyle c_{2}}$'ye tek bir adımda geçip geçmediğine bakılır. Eğer ikisinden biri doğru ise kabul, ikisi de yanlış ise ret döner
  
• 2. Eğer ${\displaystyle t>1}$ ise bütün ${\displaystyle f(n)}$ uzay kullanan ara konfigürasyonlar(${\displaystyle c_{m}}$) için:
  
• 3. CANYIELD(${\displaystyle c_{1},c_{m},t/2}$) çağır
  
• 4. CANYIELD(${\displaystyle c_{m},c_{2},t/2}$) çağır
  
• 5. Eğer 3. ve 4. adım kabulse, kabul eder
  
• 6. Eğer kabul değilse ret döner

${\displaystyle N}$ makinesi ${\displaystyle f(n)}$ uzayda ${\displaystyle A}$ diline karar veren bir ${\displaystyle NTM}$ olsun. ${\displaystyle A}$ diline karar veren bir belirlenimli ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ makinesi oluşturalım. ${\displaystyle M}$ makinesi, ${\displaystyle N}$ makinesinin herhangi bir konfigürasyonunun belirli adımda çözülüp çözülmediğini test etmek için yukarıda bahsedilen CANYIELD algortimasını kullanır.
${\displaystyle w}$ katarı ${\displaystyle N}$ makinesi için bir girdi katarı olsun.${\displaystyle w}$ katarı üzerinde ${\displaystyle c_{1}}$ ve ${\displaystyle c_{2}}$ konfigürasyonları için, ${\displaystyle N}$ makinesi ${\displaystyle c_{1}}$'den ${\displaystyle c_{2}}$'ye ${\displaystyle t}$ veya daha az adımda geliyorsa, CANYIELD algoritması kabul döner, değilse ret döner.
Şimdi de ${\displaystyle N}$ makinesini simüle eden bir ${\displaystyle M}$ makinesi oluşturalım:

${\displaystyle M}$(${\displaystyle w}$)

• 1. CANYIELD(${\displaystyle c_{1}}$, ${\displaystyle c_{2}}$, ${\displaystyle 2^{f(n)}}$) sonucu çıktı olarak döner.

CANYIELD algoritması kendisini yinelemeli olarak çağırdığında, mevcut durumu; ${\displaystyle c_{1}}$ ve ${\displaystyle c_{2}}$ değerlerini tutmak zorunda kalır. Öyleyse her bir yineleme adımında, ekstra ${\displaystyle O(f(n))}$ uzay gereklidir. Ayrıca, her bir yineleme adımında, ${\displaystyle t}$ adım yarıya düştüğünden, toplamda, ${\displaystyle log_{2}2^{f(n)}=f(n)}$ uzay gereklidir. O zaman bütün simüle için gerekli olan uzay, ${\displaystyle f(n)f(n)=f(n)^{2}}$ olur. Bu da Savitch'in iddia ettiği gibi ${\displaystyle O(f(n)^{2})}$ uzayda, bir ${\displaystyle O(f(n))}$ uzay ${\displaystyle NTM}$ bir ${\displaystyle TM}$'e dönüştürülebilir.

• Lance Fortnow, Foundations of Complexity, Lesson 18: Savitch's Theorem (18 Mayıs 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)