Turán eşitsizliği

Matematik'te, Turán eşitsizliği Paul Turán tarafından Legendre polinomu'larının genellemesi için bulundu. (ilk yayınlanması Szegö (1948)) tarafından oldu.Başka diğer polinomlar içinde birçok genellemeler Turán eşitsizliği ile verilir.

EğerPn ise ninci Legendre polinomu ise, Turán eşitsizliği;

P n ( x ) 2 > P n − 1 ( x ) P n + 1 ( x )  için  − 1 < x < 1. {\displaystyle P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x){\text{ için }}-1<x<1.}

Hn için, ninci Hermit polinomları'nun, Turán eşitsizliği

H n ( x ) 2 − H n − 1 ( x ) H n + 1 ( x ) = ( n − 1 ) ! ⋅ ∑ i = 0 n − 1 2 n − i i ! H i ( x ) 2 > 0 {\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0}

ve Chebyshev polinomları için

T n ( x ) 2 − T n − 1 ( x ) T n + 1 ( x ) = 1 − x 2 > 0  for  − 1 < x < 1. {\displaystyle \!T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0{\text{ for }}-1<x<1.}

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Beckenbach, E. F.; Seidel, W.; Szász, Otto (1951), "Recurrent determinants of Legendre and of ultraspherical polynomials", Duke Math. J., cilt 18, ss. 1-10, MR 0040487