Abc-гіпотеза
Напрямок | Теорія Чисел |
---|---|
Автори |
|
Рік | 1985 |
Еквівалентне | Удосконалена Гіпотеза Шпіро[en] |
Наслідки |
|
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Oesterle_Joseph.jpg/220px-Oesterle_Joseph.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/David_Masser.jpg/220px-David_Masser.jpg)
Abc-гіпотеза (також відома як гіпотеза Естерле–Массера ) — це гіпотеза розділу теорії чисел, яка виникла як результат дискусій Джозефа Естерле та Девіда Массера в 1985 році [1] [2] Вона виражається в термінах трьох натуральних чисел a, b і c (звідси й назва), які є взаємно простими та задовольняють умову a + b = c . Гіпотеза по суті стверджує, що добуток різних простих множників abc зазвичай не набагато менший за c . Низка гіпотез і теорем теорії чисел випливають безпосередньо з abc-гіпотези або її версій. Математик Доріан Голдфельд описав цю гіпотезу як «найважливішу невирішену проблему діофантового аналізу ». [3]
Abc-гіпотеза виникла як результат спроб Остерле та Массера зрозуміти гіпотезу Шпіро про еліптичні криві [4], що включає у своє твердження більше геометричних структур, ніж abc-гіпотеза . Було доведено, що abc-гіпотеза еквівалентна модифікованій гіпотезі Шпіро. [1]
Було зроблено багато спроб довести abc-гіпотезу, але наразі жодна з них не прийнята повністю математичною спільнотою, і станом на 2020 рік вона все ще вважається недоведеною. [5]
Формулювання
Перш ніж сформулювати гіпотезу, слід ввести поняття радикала цілого числа : для натурального числа n радикал n, позначається rad( n ), є добутком різних простих множників n . Наприклад:
Якщо a, b і c є взаємно простими [notes 1] натуральними числами, такими що a + b = c, виявляється, що "зазвичай" c < rad( abc ). Abc-гіпотеза має справу з винятками. Зокрема, в ній зазначено, що:
Еквівалентне формулювання:
Еквівалентно (використовуючи позначення o-маленьке ):
Четверте еквівалентне формулювання гіпотези включає у себе поняття якості q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ), що визначається як
Наприклад:
- q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
Типова трійка ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c матиме c < rad( abc ), тобто q ( a, b, c ) < 1. Трійки з q > 1, такі як наведені у другому прикладі, доволі особливі, вони складаються з чисел, які діляться на великі степені малих простих чисел . Третє формулювання:
Оскільки відомо, що існує нескінченна кількість трійок ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c таких, що q ( a, b, c ) > 1, то гіпотеза передбачає, що лише скінченна кількість із них мають q > 1,01 або q > 1,001 або навіть q > 1,0001 тощо. Зокрема, якщо гіпотеза вірна, то має існувати така трійка ( a, b, c ), яка досягає максимально можливої якості q ( a, b, c ).
Приклади трійок з малим радикалом
Умова ε > 0 є необхідною, оскільки існує нескінченна кількість трійок a, b, c з c > rad( abc ). Наприклад, нехай
Ціле число b ділиться на 9:
Використовуючи цей факт, виконуються такі обчислення:
Замінивши експоненту 6 n іншими експонентами, змусивши b мати більші квадратичні множники, співвідношення між радикалом і c можна зробити як завгодно малим. Зокрема, нехай p > 2 є простим числом і розглянемо
Тепер можна стверджувати, що b ділиться на p 2 :
Останній крок використовує той факт, що p 2 ділить 2 p ( p −1) − 1. Це напряму випливає з малої теореми Ферма, яка стверджує, що для p > 2, 2 p −1 = pk + 1 для деякого цілого числа k . Піднесення обох частин до степеня p показує, що 2 p ( p −1) = p 2 (...) + 1.
А тепер подібними обчисленнями, як описано вище, отримуємо:
Нижче наведено список трійок найвищої якості (трійок з особливо малим радикалом відносно c ); найвищу якість, 1,6299, виявив Ерік Рейссат (Lando та Zvonkin, 2004) для
Abc-гіпотеза має велику кількість наслідків. До них належать як відомі результати (деякі з яких були доведені окремо уже після того, як гіпотеза була висловлена), так і гіпотези, для яких вона дає умовне доведення . Серед наслідків:
- Теорема Рота про діофантову апроксимацію алгебраїчних чисел . [7] [6]
- Гіпотеза Морделла (уже доведена Гердом Фалтінгсом ). [8]
- Як еквівалент, гіпотеза Войта в розмірності 1. [9]
- Гіпотеза Ердеша–Вудса, яка допускає кінцеву кількість контрприкладів. [10]
- Існування нескінченної кількості невіферіхових простих чисел у кожній основі b > 1. [11]
- Слабка форма гіпотези Маршалла Холла про відокремлення квадратів і кубів цілих чисел. [12]
- Велика теорема Ферма має відомий складний доказ Ендрю Вайлза. Однак це випливає легко, принаймні для , від ефективної форми слабкої версії гіпотези abc . Гіпотеза abc говорить, що lim sup набору всіх якостей (визначених вище) дорівнює 1, що передбачає набагато слабше твердження про те, що існує кінцева верхня межа для якостей. Припущення, що 2 є такою верхньою межею, достатньо для дуже короткого доказу останньої теореми Ферма для . [13]
- Гіпотеза Ферма-Каталана, узагальнення останньої теореми Ферма щодо степенів, які є сумами степенів. [14]
- L -функція L ( s, χ d ), утворена за допомогою символу Лежандра, не має нуля Зігеля, враховуючи уніфіковану версію abc-гіпотези у числових полях, а не лише abc-гіпотезу, як сформульовано вище для раціональних цілих чисел. [15]
- Многочлен P ( x ) має лише скінченну кількість досконалих степенів для всіх цілих чисел x, якщо P має принаймні три прості нулі . [16]
- Узагальнення теореми Тідждемана щодо кількості розв’язків y m = x n + k (теорема Тідждемана відповідає випадку k = 1) і гіпотези Піллаї (1931) щодо кількості розв’язків Ay m = Bx n + k .
- Як еквівалент, гіпотеза Гранвіля–Ланжевена, що якщо f є бінарною формою без квадратів степеня n > 2, то для довільного дійсного β > 2 існує константа C ( f, β ), така що для всіх взаємно простих цілих чисел x, y, радикал f ( x, y ) перевищує C · max{| х |, | y |} n − β . [17]
- Як еквівалент, модифікована гіпотеза Шпіро, яка дасть межу rad( abc ) 1,2+ ε . [1]
- Dąbrowski, (1996) показав, що гіпотеза abc означає, що діофантове рівняння n ! + A = k 2 має лише скінченну кількість розв’язків для будь-якого даного цілого числа A .
- Існує ~ c f N додатних цілих чисел n ≤ N, для яких f ( n )/B' є вільним від квадратів, де c f > 0 додатна константа, визначена як: [18]
- Гіпотеза Біла, узагальнення великої теореми Ферма, яка припускає, що якщо A, B, C, x, y та z є натуральними числами з A x + B y = C z та x, y, z > 2, то A, B, і C мають спільний простий множник. Гіпотеза abc означатиме, що існує лише кінцева кількість контрприкладів.
- Гіпотеза Ленга, нижня межа для висоти раціональної точки без кручення еліптичної кривої.
- Від'ємний розв’язок проблеми Ердеша–Улама на щільних множинах евклідових точок із раціональними відстанями. [19]
- Ефективний варіант теореми Зігеля про цілі точки на алгебраїчних кривих. [20]
Теоретичні результати
Abc-гіпотеза передбачає, що c може бути обмежено зверху майже лінійною функцією радикала abc . Відомо, що межі є експоненціальними . Зокрема, було доведено такі межі:
У даних межах K 1 і K 3 є константами, які не залежать від a, b чи c, а K 2 є константою, яка залежить від ε ( ефективно обчислюваним способом), але не залежить від a, b або c . Межі застосовуються до будь-яких трійок, для яких c > 2.
Результати обчислень
У 2006 році математичний факультет Лейденського університету в Нідерландах спільно з нідерландським науковим інститутом Kennislink запустив проект ABC@Home, грід- обчислювальну систему, метою якої є виявлення додаткових трійок a, b, c з rad( abc ) < c . Хоча жоден скінченний набір прикладів чи контрприкладів не може довести чи спростувати abc-гіпотезу, є сподівання, що закономірності в трійках, які будуть виявлені цим проектом, приведуть до глибшого розуміння цієї гіпотези.
q c | q > 1 | q > 1.05 | q > 1.1 | q > 1.2 | q > 1.3 | q > 1.4 |
---|---|---|---|---|---|---|
c < 102 | 6 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 |
c < 103 | 31 | 17 | 14 | 8 | 3 | 1 |
c < 104 | 120 | 74 | 50 | 22 | 8 | 3 |
c < 105 | 418 | 240 | 152 | 51 | 13 | 6 |
c < 106 | 1,268 | 667 | 379 | 102 | 29 | 11 |
c < 107 | 3,499 | 1,669 | 856 | 210 | 60 | 17 |
c < 108 | 8,987 | 3,869 | 1,801 | 384 | 98 | 25 |
c < 109 | 22,316 | 8,742 | 3,693 | 706 | 144 | 34 |
c < 1010 | 51,677 | 18,233 | 7,035 | 1,159 | 218 | 51 |
c < 1011 | 116,978 | 37,612 | 13,266 | 1,947 | 327 | 64 |
c < 1012 | 252,856 | 73,714 | 23,773 | 3,028 | 455 | 74 |
c < 1013 | 528,275 | 139,762 | 41,438 | 4,519 | 599 | 84 |
c < 1014 | 1,075,319 | 258,168 | 70,047 | 6,665 | 769 | 98 |
c < 1015 | 2,131,671 | 463,446 | 115,041 | 9,497 | 998 | 112 |
c < 1016 | 4,119,410 | 812,499 | 184,727 | 13,118 | 1,232 | 126 |
c < 1017 | 7,801,334 | 1,396,909 | 290,965 | 17,890 | 1,530 | 143 |
c < 1018 | 14,482,065 | 2,352,105 | 449,194 | 24,013 | 1,843 | 160 |
Станом на травень 2014 року ABC@Home знайшов 23,8 мільйона трійок. [22]
Rank | q | a | b | c | Discovered by |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1.6299 | 2 | 310·109 | 235 | Eric Reyssat |
2 | 1.6260 | 112 | 32·56·73 | 221·23 | Benne de Weger |
3 | 1.6235 | 19·1307 | 7·292·318 | 28·322·54 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski |
4 | 1.5808 | 283 | 511·132 | 28·38·173 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj |
5 | 1.5679 | 1 | 2·37 | 54·7 | Benne de Weger |
Примітка: якість q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ) визначена вище .
Уточнені форми, узагальнення та відповідні твердження
Гіпотеза abc є цілочисельним аналогом теореми Мейсона–Стозерса для поліномів.
Сильніша гіпотеза, запропонована Baker, (1998), стверджує, що в гіпотезі abc можна замінити rad( abc ) на
де ω — загальна кількість різних простих чисел, що ділять a, b і c . [24]
Ендрю Гранвіль помітив, що мінімум функції для виникає при
Це надихнуло Baker, (2004) запропонувати чіткішу форму abc-гіпотези, а саме:
де κ є абсолютною константою. Після кількох обчислювальних експериментів він виявив, що значення було допустимим для κ . Ця версія називається «явною гіпотезою abc ».
Бейкер, (1998) також описав гіпотези Ендрю Гранвілья що б дало верхню межу на c виду:
де Ω( n ) — загальна кількість простих множників n, і
де Θ( n ) — кількість цілих чисел до n, які діляться лише на прості числа, що ділять n .
Роберт, Стюарт та Тенанбаум, (2014) запропонували більш точну нерівність базуючись на Роберт та Тенанбаум, (2013). Нехай k = rad(abc). Вони припустили, що існує константа C1 така що
виконується, тоді коли існує стала C 2 така, що
виконується нескінченно часто.
Броукін та Бжезинський, (1994) сформулювали n- гіпотезу—версію abc гіпотезу для цілих чисел n > 2 .
Заявлені доведення
Люсьєн Шпіро запропонував рішення в 2007 році, але невдовзі у ньому знайшли помилку. [25]
З серпня 2012 року Шінічі Мочізукі заявив про доведення гіпотези Шпіро, а отже, abc-гіпотези . [26] Він випустив серію з чотирьох препринтів, які включали нову теорію, яку він назвав міжуніверсальною теорією Тейхмюллера (IUTT), яка в подальшому застосовується для підтвердження abc-гіпотези . [27] Статті не були прийняті математичною спільнотою як докази гіпотези. [28] Це відбулося не лише через їхню довжину та складність розуміння [29], а й тому, що принаймні один конкретний момент у аргументації був визначений як прогалина деякими іншими експертами. [30] Незважаючи на те, що кілька математиків ручалися за правильність доведення [31] і намагалися показати своє розуміння через семінари на IUTT, їм не вдалося переконати спільноту математиків теорії чисел. [32] [33]
У березні 2018 року Пітер Шольце та Якоб Стікс відвідали Кіото для обговорення з Мочізукі. [34] [35] Хоча вони не усунули розбіжності, вони чіткіше їх сформулювали. Шольце та Стікс написали звіт, в якому пояснювали помилку в логіці доведення та стверджували, що отримана прогалина була «настільки серйозною, що ... невеликі зміни не врятують стратегію доказу»; [30] Мочізукі стверджував, що вони неправильно зрозуміли життєво важливі аспекти теорії та зробили некоректні спрощення. [36] [37] [38]
3 квітня 2020 року двоє математиків з Кіотського науково-дослідного інституту, де працює Мочізукі, оголосили, що заявлене ним доведення буде опубліковано в публікаціях науково-дослідного інституту математичних наук, журналі інституту. Мочізукі є головним редактором цього журналу, але він відмовився від рецензування даної статті. [5] Кіран Кедлая та Едвард Френкель сприйняли цю заяву зі скептицизмом, а журнал Nature описав її як «навряд чи приведе багатьох дослідників до табору Мочізукі». [5] У березні 2021 року доведення Мочізукі було опубліковано в RIMS. [39]
Дивіться також
Список літератури
- ↑ When a + b = c, coprimality of a, b, c implies pairwise coprimality of a, b, c. So in this case, it does not matter which concept we use.
Джерела
- Baker, Alan (1998). Logarithmic forms and the abc-conjecture. У Győry, Kálmán (ред.). Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter. с. 37—44. ISBN 3-11-015364-5. Zbl 0973.11047.
- Baker, Alan (2004). Experiments on the abc-conjecture. Publicationes Mathematicae Debrecen. 65 (3–4): 253—260.
- Bombieri, Enrico (1994). Roth's theorem and the abc-conjecture (Preprint). ETH Zürich.[неавторитетне джерело]
- Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Т. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
- Browkin, Jerzy; Brzeziński, Juliusz (1994). Some remarks on the abc-conjecture. Math. Comp. 62 (206): 931—939. Bibcode:1994MaCom..62..931B. doi:10.2307/2153551. JSTOR 2153551.
- Browkin, Jerzy (2000). The abc-conjecture. У Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (ред.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. с. 75–106. ISBN 3-7643-6259-6.
- Dąbrowski, Andrzej (1996). On the diophantine equation x! + A = y2. Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14: 321—324. Zbl 0876.11015.
- Elkies, N. D. (1991). ABC implies Mordell. International Mathematics Research Notices. 1991 (7): 99—109. doi:10.1155/S1073792891000144.
- Frey, Gerhard (1997). On Ternary Equations of Fermat Type and Relations with Elliptic Curves. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. New York: Springer. с. 527—548. ISBN 0-387-94609-8.
- Goldfeld, Dorian (1996). Beyond the last theorem. Math Horizons. 4 (September): 26—34. doi:10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR 25678079.
- Goldfeld, Dorian (2002). Modular forms, elliptic curves and the abc-conjecture. У Wüstholz, Gisbert (ред.). A panorama in number theory or The view from Baker's garden. Based on a conference in honor of Alan Baker's 60th birthday, Zürich, Switzerland, 1999. Cambridge: Cambridge University Press. с. 128–147. ISBN 0-521-80799-9. Zbl 1046.11035.
- Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ред. (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. с. 361–362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2.
- Granville, A. (1998). ABC Allows Us to Count Squarefrees (PDF). International Mathematics Research Notices. 1998 (19): 991—1009. doi:10.1155/S1073792898000592.
- Granville, Andrew; Stark, H. (2000). ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent (PDF). Inventiones Mathematicae. 139 (3): 509—523. Bibcode:2000InMat.139..509G. doi:10.1007/s002229900036.
- Granville, Andrew; Tucker, Thomas (2002). It's As Easy As abc (PDF). Notices of the AMS. 49 (10): 1224—1231. CiteSeerX 10.1.1.146.610.
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7.
- . ISBN 3-540-00203-0.
{{cite encyclopedia}}
: Пропущений або порожній|title=
(довідка) - Langevin, M. (1993). Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc. Comptes rendus de l'Académie des sciences (фр.). 317 (5): 441—444.
- Masser, D. W. (1985). Open problems. У Chen, W. W. L. (ред.). Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory. London: Imperial College.
- Mollin, R.A. (2009). A note on the ABC-conjecture (PDF). Far East Journal of Mathematical Sciences. 33: 267—275. ISSN 0972-0871. Zbl 1241.11034. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 14 червня 2013.
- Mollin, Richard A. (2010). Advanced number theory with applications. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Zbl 1200.11002.
- Nitaj, Abderrahmane (1996). La conjecture abc. Enseign. Math. (фр.). 42 (1–2): 3—24.
- Oesterlé, Joseph (1988), Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165—186, ISSN 0303-1179, MR 0992208
- Pomerance, Carl (2008). Computational Number Theory. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. с. 361—362.
- Silverman, Joseph H. (1988). Wieferich's criterion and the abc-conjecture. Journal of Number Theory. 30 (2): 226—237. doi:10.1016/0022-314X(88)90019-4. Zbl 0654.10019.
- Robert, Olivier; Stewart, Cameron L.; Tenenbaum, Gérald (2014). A refinement of the abc conjecture (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 46 (6): 1156—1166. doi:10.1112/blms/bdu069.
- Robert, Olivier; Tenenbaum, Gérald (November 2013). Sur la répartition du noyau d'un entier [On the distribution of the kernel of an integer]. Indagationes Mathematicae (фр.). 24 (4): 802—914. doi:10.1016/j.indag.2013.07.007.
- Stewart, C. L.; Tijdeman, R. (1986). On the Oesterlé-Masser conjecture. Monatshefte für Mathematik. 102 (3): 251—257. doi:10.1007/BF01294603.
- Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (1991). On the abc conjecture. Mathematische Annalen. 291 (1): 225—230. doi:10.1007/BF01445201.
- Stewart, C. L.; Yu, Kunrui (2001). On the abc conjecture, II. Duke Mathematical Journal. 108 (1): 169—181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
- Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). The ABC conjecture implies Vojta's height inequality for curves. J. Number Theory. 95 (2): 289—302. doi:10.1006/jnth.2001.2769. MR 1924103.
- Waldschmidt, Michel (2015). Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences. Mathematics in the 21st Century. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Т. 98. с. 211—230. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN 978-3-0348-0858-3.
Посилання
- ABC@home Distributed computing project called ABC@Home[en].
- Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
- Weisstein, Eric W. abc Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
- Bart de Smit's ABC Triples webpage
- http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
- The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies[en]
- Questions about Number by Barry Mazur[en]
- Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture on MathOverflow[en]
- ABC Conjecture Polymath project[en] wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.
- abc Conjecture Numberphile video
- News about IUT by Mochizuki
- ↑ а б в Oesterlé, 1988.
- ↑ Masser, 1985.
- ↑ Goldfeld, 1996.
- ↑ Fesenko, Ivan (September 2015). Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta-functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki. European Journal of Mathematics. 1 (3): 405—440. doi:10.1007/s40879-015-0066-0.
- ↑ а б в Castelvecchi, Davide (9 квітня 2020). Mathematical proof that rocked number theory will be published. Nature. 580 (7802): 177. Bibcode:2020Natur.580..177C. doi:10.1038/d41586-020-00998-2. PMID 32246118.
- ↑ а б в Waldschmidt, 2015.
- ↑ Bombieri, (1994).
- ↑ Elkies, (1991).
- ↑ Van Frankenhuijsen, (2002).
- ↑ Langevin, (1993).
- ↑ Silverman, (1988).
- ↑ Nitaj, (1996).
- ↑ Granville, Andrew; Tucker, Thomas (2002). It's As Easy As abc (PDF). Notices of the AMS. 49 (10): 1224—1231.
- ↑ Pomerance, (2008).
- ↑ Granville та Stark, (2000).
- ↑ The ABC-conjecture, Frits Beukers, ABC-DAY, Leiden, Utrecht University, 9 September 2005.
- ↑ Mollin, (2009); Mollin, (2010)
- ↑ Granville, (1998).
- ↑ Pasten, Hector (2017), Definability of Frobenius orbits and a result on rational distance sets, Monatshefte für Mathematik, 182 (1): 99—126, doi:10.1007/s00605-016-0973-2, MR 3592123
- ↑ arXiv:math/0408168 Andrea Surroca, Siegel’s theorem and the abc conjecture, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332
- ↑ Synthese resultaten, RekenMeeMetABC.nl (нід.), архів оригіналу за 22 грудня 2008, процитовано 3 жовтня 2012.
- ↑ Data collected sofar, ABC@Home, архів оригіналу за 15 травня 2014, процитовано 30 квітня 2014
- ↑ 100 unbeaten triples. Reken mee met ABC. 7 листопада 2010.
- ↑ Bombieri та Gubler, (2006), с. 404.
- ↑ "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Woit, Peter (26 травня 2007), Proof of the abc Conjecture?, Not Even Wrong.
- ↑ Ball, Peter (10 вересня 2012). Proof claimed for deep connection between primes. Nature. doi:10.1038/nature.2012.11378. Процитовано 19 березня 2018.
- ↑ Mochizuki, Shinichi (4 березня 2021). Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 57 (1): 627—723. doi:10.4171/PRIMS/57-1-4.
- ↑ Calegari, Frank (17 грудня 2017). The ABC conjecture has (still) not been proved. Процитовано 17 березня 2018.
- ↑ Revell, Timothy (7 вересня 2017). Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary'. New Scientist.
- ↑ а б Scholze, Peter; Stix, Jakob. Why abc is still a conjecture (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 8 лютого 2020. Процитовано 23 вересня 2018. (updated version of their May report [Архівовано 2020-02-08 у Wayback Machine.])
- ↑ Fesenko, Ivan (28 вересня 2016). Fukugen. Inference. 2. Процитовано 30 жовтня 2021.
- ↑ Conrad, Brian (15 грудня 2015). Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad. Процитовано 18 березня 2018.
- ↑ Castelvecchi, Davide (8 жовтня 2015). The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof. Nature. 526 (7572): 178—181. Bibcode:2015Natur.526..178C. doi:10.1038/526178a. PMID 26450038.
- ↑ Klarreich, Erica (20 вересня 2018). Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture. Quanta Magazine.
- ↑ March 2018 Discussions on IUTeich. Процитовано 2 жовтня 2018. Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material
- ↑ Mochizuki, Shinichi. Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF). Процитовано 1 лютого 2019.
the ... discussions ... constitute the first detailed, ... substantive discussions concerning negative positions ... IUTch.
- ↑ Mochizuki, Shinichi (July 2018). Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF). Процитовано 2 жовтня 2018.
- ↑ Mochizuki, Shinichi. Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF). Процитовано 2 жовтня 2018.
- ↑ Mochizuki, Shinichi. Mochizuki's proof of ABC conjecture. Процитовано 13 липня 2021.