Định lý cơ bản của các nhóm cyclic

Trong đại số trừu tượng, định lý cơ bản về nhóm cyclic khẳng định rằng nếu G là một nhóm cyclic cấp n thì mọi nhóm con của G cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp của các nhóm con của G là một ước của n và với mỗi ước dương k của n nhóm G có đúng một nhóm con cấp k.

Giả sử ${\displaystyle G=\left\langle a\right\rangle }$ là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử ${\displaystyle a\in G}$. Giả sử ${\displaystyle H\,}$ là nhóm con của ${\displaystyle G\,}$. Ta sẽ chứng tỏ rằng ${\displaystyle H\,}$ là cyclic. Nếu ${\displaystyle H=\{e\}\,}$ thì ${\displaystyle H=\left\langle e\right\rangle \,}$. Nếu ${\displaystyle H\neq \{e\}\,}$ thì vì ${\displaystyle G\,}$ là cyclic nên mọi phần tử trong ${\displaystyle H\,}$ có dạng lũy thừa ${\displaystyle a^{t}\,}$, trong đó ${\displaystyle t\,}$ là số nguyên dương. Đặt ${\displaystyle m\,}$ là số nguyên dương nhỏ nhất mà ${\displaystyle a^{m}\in H}$.

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng ${\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle \,}$. Từ tính chất đống của nhóm con rút ra rằng ${\displaystyle \left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H}$.

Để chứng tỏ ${\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle }$ chúng ta giả sử ${\displaystyle b\in H}$. Vì ${\displaystyle b\in G}$ ta có ${\displaystyle b=a^{k}\,}$ với một số nguyên dương nào đó ${\displaystyle k\,}$. Theo thuật toán chia, ${\displaystyle k=mq+r\,}$ với ${\displaystyle 0\leq r<m\,}$, và do đó ${\displaystyle a^{k}=a^{mq+r}=a^{mq}a^{r}\,}$, từ đó ${\displaystyle a^{r}=a^{-mq}a^{k}\,}$. Bây giờ vì ${\displaystyle a^{k}\in H}$ và ${\displaystyle a^{-mq}=(a^{m})^{-q}\in H}$, nên ${\displaystyle a^{r}\in H}$. Nhưng ${\displaystyle m\,}$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ${\displaystyle a^{m}\in H}$ và ${\displaystyle 0\leq r<m\,}$, nên ${\displaystyle r=0\,}$ và do đó ${\displaystyle b=a^{k}=a^{mq}=(a^{m})^{q}\in \left\langle a^{m}\right\rangle }$. Như vậy ${\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle }$.

Vì ${\displaystyle H\subseteq \left\langle a^{m}\right\rangle }$ và ${\displaystyle \left\langle a^{m}\right\rangle \subseteq H}$ nên ${\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle }$ và như vậy ${\displaystyle H\,}$ là cyclic.

Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng cấp của nhóm con bất kỳ của ${\displaystyle G\,}$ là một ước của ${\displaystyle n\,}$. Giả sử ${\displaystyle H\,}$ là một nhóm con bất kỳ của ${\displaystyle G\,}$. Ta luôn có thể viết ${\displaystyle H=\left\langle a^{m}\right\rangle }$, trong đó m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ${\displaystyle a^{m}\in H}$. Vì ${\displaystyle e=a^{n}=a^{m}\,}$ nên ${\displaystyle n=mq\,}$ với số nguyên ${\displaystyle q\,}$ nào đó. Như vậy ${\displaystyle m|n\,}$.

Chúng ta sẽ chứng minh phần cuối của định lý. Giả sử ${\displaystyle k\,}$ là một ước nguyên dương của ${\displaystyle n\,}$. Ta sẽ chứng tỏ rằng ${\displaystyle \left\langle a^{n/k}\right\rangle }$ và chỉ nó là nhóm con ${\displaystyle \left\langle a\right\rangle }$ cấp ${\displaystyle k\,}$. Chú ý rằng ${\displaystyle \left\langle a^{n/k}\right\rangle }$ có cấp ${\displaystyle {n \over {gcd(n,{n \over {k}})}}={n \over {n \over k}}=k\,}$. Đặt ${\displaystyle H\,}$ là nhóm con bất kỳ của ${\displaystyle \left\langle a\right\rangle }$ có cấp ${\displaystyle k\,}$. Ta biết rằng ${\displaystyle H=\left\langle a\right\rangle }$, trong đó ${\displaystyle m\,}$ là ước của ${\displaystyle n\,}$. Như vây ${\displaystyle m=gcd(n,m)\,}$ and ${\displaystyle k=|<a^{m}>|=|a^{m}|=|a^{gcd(n,m)}|={n \over {gcd(n,m)}}={n \over m}\,}$. Từ đó ${\displaystyle m={n \over k}\,}$ và như vậy ${\displaystyle H=\left\langle a^{n \over k}\right\rangle }$. Định lý đã được chứng minh.

Giả sử ${\displaystyle G=<a>}$ là một nhóm cyclic, và ${\displaystyle H}$ là một nhóm con của ${\displaystyle G}$. Ta xác định một ánh xạ ${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} \rightarrow G}$ nhờ ${\displaystyle \phi (n)=a^{n}}$. Vì ${\displaystyle G}$ là cyclic sinh bởi ${\displaystyle a}$, nên ${\displaystyle \phi }$ là toàn ánh. Đặt ${\displaystyle K=\phi ^{-1}(H)\subseteq \mathbb {Z} }$. ${\displaystyle K}$ là nhóm con của ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Vì ${\displaystyle \phi }$ là toán ánh, nên thu hẹp của ${\displaystyle \phi }$ trên ${\displaystyle K}$ xác định một toàn cấu từ ${\displaystyle K}$ lên ${\displaystyle H}$, và do đó ${\displaystyle H}$ là đẳng cấu với một nhóm thương của ${\displaystyle K}$. Vì ${\displaystyle K}$ là một nhóm con của ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle K}$ là ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ với số nguyên ${\displaystyle n}$ nào đó. Nếu ${\displaystyle n=0}$, thì ${\displaystyle K={0}}$, từ đó ${\displaystyle H={0}}$, là nhóm cyclic. Nếu khác đi, ${\displaystyle K}$ đẳng cấu với ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Do đó ${\displaystyle H}$ là đẳng cấu với một thương của ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, và chắc chắn là cyclic.

• Nhóm cyclic