Giới hạn Singleton

Trong lý thuyết mã hóa, giới hạn Singleton, đặt theo tên của Richard Collom Singleton, là một giới hạn trên cho kích thước của mã khối ${\displaystyle C}$ với độ dài ${\displaystyle n}$, kích thước ${\displaystyle r}$, và khoảng cách ${\displaystyle d}$ (mỗi mã tự có độ dài ${\displaystyle n}$, dùng để biểu diễn một thông điệp có độ dài ${\displaystyle r}$, và hai mã tự khác nhau có ít nhất ${\displaystyle d}$ ký hiệu khác nhau).

Khoảng cách của một tập ${\displaystyle C}$ bao gồm các mã tự có độ dài ${\displaystyle n}$ được định nghĩa như sau:

${\displaystyle d=\min _{x,y\in C,x\neq y}d(x,y)}$

trong đó ${\displaystyle d(x,y)}$ là khoảng cách Hamming giữa ${\displaystyle x}$ và ${\displaystyle y}$. Biểu thức ${\displaystyle A_{q}(n,d)}$ biểu diễn số lượng mã tự tối đa của một mã khối có độ dài ${\displaystyle n}$, khoảng cách ${\displaystyle d}$, và sử dụng ký hiệu trong một bảng chữ cái kích thước ${\displaystyle q}$.

Giới hạn Singleton khẳng định rằng

${\displaystyle A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$

Trước hết, ta nhận thấy có ${\displaystyle q^{n}}$ chuỗi độ dài ${\displaystyle n}$ gồm các ký kiệu trong một bảng chữ cái kích thước ${\displaystyle q}$, do mỗi ký kiệu có ${\displaystyle q}$ lựa chọn khác nhau, độc lập với các ký hiệu còn lại.

Giả sử ${\displaystyle C}$ là một mã có khoảng cách ${\displaystyle d}$. Rõ ràng mọi mã tự ${\displaystyle c\in C}$ là khác nhau. Nếu ta xóa ${\displaystyle d-1}$ ký hiệu đầu tiên của mỗi mã tự thì chúng vẫn khác nhau do khoảng cách Hamming giữa các mã tự ban đầu là ít nhất ${\displaystyle d}$. Do đó số lượng mã tự khác nhau sau khi xóa là không đổi.

Các mã tự mới có chiều dài

${\displaystyle n-(d-1)=n-d+1}$

và do đó có tối đa

${\displaystyle q^{n-d+1}}$

mã tự khác nhau. Do đó số mã tự khác nhau trong mã ${\displaystyle C}$ cũng được giới hạn bởi

${\displaystyle |C|\leq A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}.}$

Mã khối đạt đến giới hạn Singleton gọi là mã MDS (viết tắt tiếng Anh - maximum distance separable). Một vài ví dụ của mã MDS bao gồm mã chỉ có đúng một mã tự (khoảng cách ${\displaystyle n}$), mã sử dụng toàn bộ ${\displaystyle (F_{q})^{n}}$ (khoảng cách 1), mã sử dụng đúng 1 bit chẵn lẻ (khoảng cách 2) và mã đối ngẫu của nó. Các mã này gọi là các mã MDS "tầm thường".

Trong trường hợp bảng chữ cái nhị phân, chỉ có các mã MDS tầm thường.^[1]

Một vài ví dụ không tầm thường của mã MDS bao gồm mã Reed-Solomon và các phiên bản mở rộng của nó.^[2]

• Giới hạn Gilbert–Varshamov
• Giới hạn Plotkin
• Giới hạn Hamming
• Giới hạn Johnson
• Giới hạn Griesmer

• R.C. Singleton (1964). “Maximum distance q-nary codes”. IEEE Trans. Inf. Theory. 10: 116–118. doi:10.1109/TIT.1964.1053661.

Đọc thêm

• J.H. van Lint (1992). Introduction to Coding Theory. GTM. 86 (ấn bản thứ 2). Springer-Verlag. tr. 61. ISBN 3-540-54894-7.
• F.J. MacWilliams (1977). The Theory of Error-Correcting Codes. N.J.A. Sloane. North-Holland. tr. 33, 37. ISBN 0-444-85193-3.
• L. R. Vermani: Elements of algebraic coding theory, Chapman & Hall, 1996.