Hàm rect. Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:[1]
![{\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{khi }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{khi }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6c1883f64d8b1640bcc507361b7c523678cdb9)
Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:[2]
![{\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{khi }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31385cf51ff4238196a62d9d62d0ded24d1dfefb)
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (\pi f)=\mathrm {si} (f).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7991dee248c2ca4f51efa859a7ea4c4db88b397)
và:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0c516ffa2bdb77bd5747bf2e6fb2d7cc3f5001)
Mối quan hệ với hàm tri
Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.
![{\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3967db4a8e83c4b4500cccbe73cc8171b8404895)
Ứng dụng trong xác suất
Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với
.
Hàm đặc trưng:
![{\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864ed74c27df0b61fda1a7a2f7bac4c164eb4469)
Hàm sinh mômen:
![{\displaystyle M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568e21da58feafb4ffe70c37fcbde6e013502a50)
với
là một hàm hypebolic.
Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ
Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ:
![{\displaystyle \sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890bef7f650257992d970383201c5a19f9d74203)
Chứng minh
- Trường hợp
. Với mọi số nguyên n
thì (2t)2n
luôn luôn dương. Do 2t<1
cho nên (2t)2n→0
khi n→∝
.
- Suy ra:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129e6c91258a2e287a2eb4519d8fc03229dfcb40)
- Trường hợp
. Với mọi số nguyên n
thì (2t)2n
luôn luôn dương. Do 2t>1
cho nên (2t)2n→∝
khi n→∝
.
- Suy ra:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539674ce986d357d44d8c69cdefa87b85c3e1f52)
- Trường hợp
.
- Dễ dàng ta có:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f77aa1cac34878fb7a0800e57caef76fc8f220)
Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:
![{\displaystyle \therefore \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\blacksquare \\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1e835d967d3482051dcd148c7365d7bdf720d3)
Chú thích
- ^ Weisstein, Eric W. (ngày 15 tháng 8 năm 2011). “Rectangle Function”. Wolfram MathWorld. Wolfram. Truy cập ngày 15 tháng 8 năm 2011.
- ^ (tiếng Đức)Signalübertragung (ấn bản 6.). Springer Verlag. 1995. tr. 2. ISBN 3-540-54824-6.
|first=
thiếu |last=
(trợ giúp)