I-đê-an
Cấu trúc đại số → Lý thuyết vành Lý thuyết vành |
---|
![]() |
Khái niệm cơ bản Vành
Cấu trúc liên quan |
Vành giao hoán
Lý thuyết số p-adic và số thập phân
|
Đại số không giao hoán Vành không giao hoán
Hình học đại số không giao hoán Đại số tự do
|
|
Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.
Định nghĩa
Đối với một vành tùy ý , ký hiệu cho là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con được gọi là i-đê-an trái nếu:
- là một nhóm con của
- Với mọi và , tích thuộc .
Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.
Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.
Ví dụ
- Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính , được gọi là i-đê-an đơn vị.
- Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).[1]
- Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên ; nó thường được ký hiệu là . Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên được ký hiệu là .
- Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x2 + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
- Tập hợp các ma trận với hàng dưới cùng bằng là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
- Vành các hàm liên tục f từ vào chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).
Tính chất
Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.
- I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an . Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
- I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an (và chính nó).
- I-đê-an nguyên tố.
- I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
- I-đê-an sơ cấp.
- I-đê-an chính
- I-đê-an hữu hạn sinh.
- I-đê-an nguyên thủy.
- I-đê-an bất khả quy.
- I-đê-an chính quy.
- I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
- I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.
Một i-đê-an của một vành được trang bị một cấu trúc -mô-đun tự nhiên.
Phép toán i-đê-an
Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau
- ,
Ví dụ
Trong ta có
Đặt và . Thế thì,
- và
- trong khi
Xem thêm
- Số học mô-đun
- Định lý đẳng cấu Noether
- Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean
- Lý thuyết i-đê-an
- I-đê-an (lý thuyết thứ tự)
- Định chuẩn i-đê-an
- Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
- Bó i-đê-an
Tham khảo
- Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3