Polinomi ciclotòmic

En matemàtiques i més particularment en àlgebra, es diu polinomi ciclotòmic (del grec κυκλας «cercle» i τομη «tall») tot polinomi mínim d'una arrel de la unitat i amb coeficients en un cos primer. Un cos primer és un cos engendrat per la unitat de la multiplicació. Els polinomis així obtinguts són també els que apareixen en la descomposició dels polinomis ${\displaystyle X^{n}-1}$ en producte de factors irreductibles.

Sobre el cos dels racionals un polinomi ciclotòmic té propietats fortes, és un polinomi amb coeficients enters, de grau igual a φ(n) si l'arrel considerada és una arrel primitiva n-èsima de la unitat, on φ designa la funció Fi d'Euler. Les arrels del polinomi ciclotòmic són totes les arrels primitives n-èsimes de la unitat.

En el context dels cossos de característica finita, cal referir-se a la teoria de Galois, on semblen essencials, ja que tot polinomi irreductible és un polinomi ciclotòmic (a excepció del monomi unitari de grau u).

D'una manera general, el cos de descomposició anomenat també extensió ciclotòmica associada és una extensió abeliana.

L'anàlisi d'aquests polinomis permet la resolució de nombrosos problemes. Històricament, la construcció dels polígons regulars amb regle i compàs és el que va dur al desenvolupament del concepte. Són àmpliament utilitzats en la teoria de Galois, per a la resolució d'equacions polinòmiques i la comprensió de l'estructura de les extensions abelianes. Són també al nucli de la criptografia per al disseny de codis correctors.

Carl Friedrich Gauss (1777 –1855) utilitza en les seves Disquisitiones arithmeticae, aparegudes el 1801, els polinomis cilotòmics. Aporta una contribució principal a un problema obert des de l'Antiguitat: el de la construcció amb regle i compàs de polígons regulars. Aquests treballs serveixen de referència durant tot el segle. En aquest text, Gauss determina amb exactitud la llista dels polígons construïbles, i dona un mètode efectiu per a la seva construcció fins a 256 costats. La fi de la problemàtica és tractada per Pierre-Laurent Wantzel (1814 – 1848) en un article^[1] d'ara endavant cèlebre.

Aquest enfocament és innovador i, en molts aspectes, prefigura l'àlgebra moderna:

Un polinomi ja no apareix com un objecte en si sinó com un element d'un conjunt estructurat. Si bé la noció d'anell dels polinomis encara es formalitza, descobreix la seva estructura euclidiana la qual representa l'eina de base de l'anàlisi de Gauss.

La resolució efectiva de l'equació ciclotòmica el porta a considerar una estructura finita: la de les permutacions de les arrels. Se les anomena període de Gauss. Les seves propietats algebraiques permeten trobar la solució. Aquest enfocament prefigura la utilització de la teoria de grups en àlgebra i la teoria de Galois.

Apareixen noves estructures. La divisió euclidiana introdueix la noció de residu i el seu conjunt té propietats algebraiques fortes. Aquesta estructura es considera com un cas particular de cos finit si el divisor és un nombre primer. Gauss posa en evidència tals conjunts i fa servir el transport d'estructura per morfisme entre dos anells per mostrar el caràcter irreductible dels polinomis ciclotòmics. Al mateix llibre, fa servir aquestes mateixes estructures per resoldre un altre problema que havia presentat Fermat (1601 – 1685) i formalitzat Euler (1707 – 1783) el de la llei de reciprocitat quadràtica.

A partir d'aquí apareixen nombroses aplicacions. La utilització de la geometria no es limita a la construcció amb el regle i el compàs. El polinomi ciclotòmic d'índex quatre permet la construcció d'un nou conjunt de nombres algebraics el dels enters de Gauss. Neix una branca de la matemàtica: la teoria algebraica dels nombres, que simplifica la resolució d'equacions diofàntiques i permet resoldre'n de noves.

La cerca de solucions a l'equació polinòmica és un problema que es retrotrau als primers desenvolupaments sobre els polinomis pels matemàtics de llengua àrab. Se cita generalment Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí (783– 850) com a precursor^[2] amb la resolució de sis equacions canòniques, després Gerolamo Cardano (1501 – 1576) per a la resolució del cas de grau tres^[3] i Lodovico Ferrari (1522 – 1565) per al quart grau. El cas general va continuar sent durant molt de temps misteriós.

Joseph-Louis Lagrange (1736 –1813) comprèn que la resolució d'aquest problema general està íntimament vinculada a les propietats de les permutacions de les arrels.^[4] El cas particular dels polinomis ciclotòmics l'il·lustra. El grup de les bones permutacions, avui anomenat grup de Galois, és no només commutatiu sinó a més cíclic. Aquesta propietat, utilitzada a través del concepte dels períodes de Gauss, permet una resolució efectiva per a aquest cas particular.

Una anàlisi més profunda feta per Paolo Ruffini^[5] (1765 – 1822), Niels Henrik Abel^[6] (1802 – 1829) i sobretot per Evariste Galois^[7] (1811 – 1832) mostra que l'aspecte commutatiu del grup és de fet una condició suficient. Per ser precisos, la condició indica que el grup ha de ser descomponible en una successió de grups encaixats commutatius. La qüestió natural que es planteja llavors és de determinar les extensions del cos dels racionals dels quals el grup de Galois és commutatiu. Aquestes extensions s'anomenen extensions abelianes. L'estructura de cos associada al polinomi ciclotòmic, anomenada extensió ciclotòmica, n'és un exemple. Que sigui única significa que tota equació algebraica resoluble per radicals es redueix d'una manera o una altra a un polinomi ciclotòmic. La resposta és positiva: tota extensió abeliana del cos dels racionals és un subcos d'una extensió ciclotòmica. Aquest resultat ha necessitat gairebé mig segle d'esforç per poder ser demostrat.^[8] Els artesans principals foren Leopold Kronecker (1823 – 1891) i Heinrich Weber (1842 – 1913).

Si bé l'anàlisi de les extensions abelianes finites s'acaba amb el segle xix, deixa obert un ampli camp de qüestions, per exemple en aritmètica. Llavors sembla necessari de generalitzar la noció de cos ciclotòmic sobre les extensions infinites. La qüestió la planteja^[9] David Hilbert (1862 – 1943). Aquest eix d'investigació s'anomena la teoria dels cossos de classe. Aquesta teoria és una de les més fructuoses al segle xx. Es pot citar per exemple el teorema de reciprocitat^[10] d'Emil Artin (1898 – 1962) que resol el novè dels problemes de Hilbert, o més recentment, dos llorejats de la medalla Fields per als seus treballs sobre generalitzacions de la teoria: Volodímir Drínfeld el 1990 o Laurent Lafforgue el 2002.

El desenvolupament de l'esbós de la teoria dels cossos finits iniciat per Gauss demana més temps. Al final del segle xix la teoria de grups fa aparèixer la necessitat de treballar sobre altres extensions a més de la dels nombres racionals. La representació dels groupes^[11] porta a Frobenius (1849 – 1917) a l'estudi dels cossos de característica finita. Són els cossos on la suma iterada de la unitat acaba sent igual a zero. Una anàlisi, amb l'ajuda de la teoria de Galois mostra que, en aquest context, la teoria dels cossos finits és essencial. Amb el seu coneixement n'hi ha prou per a la comprensió de l'estructura dels polinomis ciclotòmics en el cas de característica finita.

L'anàlisi d'aquests cossos es fa ràpid, sobretot gràcies a l'aportació de l'escola americana. Al començament del segle xx, els treballs de Leonard Dickson (1874- 1954) després de Joseph Wedderburn (1882- 1948) posen en evidència la seva estructura. Dickson publica^[12] el primer estudi sistemàtic i Wedderburn demostra el 1905 el seu teorema que estipula que tot cos finit és abelià. Els polinomis ciclotòmics són essencials, ja que formen el conjunt dels polinomis irreductibles (a excepció del monomi unitari de grau u: X). Sobre tots els cossos de característica finita, totes les extensions finites són ciclotòmiques.

Durant la segona meitat del segle xx un nou camp d'investigació utilitza els cossos finits, la criptografia. Si bé la seguretat d'un codi no requereix la utilització dels polinomis ciclotòmics, per altra banda la fiabilitat, és a dir la capacitat per corregir els errors utilitza els polinomis, es parla llavors de codi corrector. Aquest tipus de codi, per ser òptim, utilitza els cossos finits i els polinomis ciclotòmics. Es pot citar per exemple el codi de Hamming o en un cas més general els codis que permeten un control de redundància cíclica.

Sigui n un enter estrictament positiu llavors el polinomi ciclotòmic d'índex n és el polinomi mínim sobre un cos primer d'una arrel primitiva n-èsima de la unitat. Es nota en general ${\displaystyle \Phi _{n}[X]}$.

Un cos és dit que és primer si no conté cap subcòs diferent de {0} i ell mateix. És el més petit subcòs que conté 1 i totes les seves iteracions per l'addició. El cas més conegut és el dels nombres racionals.

En el cas dels racionals, si la successió finita (z_k) descriu les arrels n^èsimes primitives de la unitat al cos dels complexos i φ la funció Fi d'Euler, el polinomi ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ve donat per:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(X-z_{k})\quad {\text{amb}}\quad z_{k}=\exp \left({\frac {2iq\pi }{n}}\right)\;{\text{i}}\quad q\land n=1}$

Observació: Una arrel n^èsima de la unitat s'anomena primitiva si, per multiplicació per si mateixa, engendra totes les arrels n^èsimes.

Els polinomis ciclotòmics són polinomis unitaris amb coeficients enters. A més, és possible aplicar a ${\displaystyle \Phi _{n}}$ el morfisme d'anell de Z[X] en Z/pZ[X]. En particular, si p. és un nombre primer, Z/pZ és un cos finit. Tal enfocament es fa servir per demostrar el caràcter irreductible del polinomi precedent.

Es diu cos ciclotòmic o extensió ciclotòmica al més petit dels subcossos del cos dels nombres complexos que conté tots els nombres racionals i una arrel primitiva n-èsima de la unitat. En lloc de situar-se al cos dels complexos, s'haurien pogut considerar les arrels primitives n-èsimes de la unitat en qualsevol extensió (finita o infinita) del cos dels racionals en la qual almenys tal arrel primitiva existeix. tal extensió conté una còpia del cos ciclotòmic.

En el cas on el cos no és el dels racionals, llavors és de cardinal finit p i p és un nombre primer. Correspon a l'estructura Z/pZ i és notat F_p. La teoria de Galois assegura l'existència d'un cos que és el més petit de tots els cossos que contenen F_p i que conté també una arrel primitiva n-èsima de la unitat, se'n diu també extensió ciclotòmica. A més, tot cos de característica p. (és a dir que conté F_p) i una arrel primitiva n-èsima de la unitat conté una còpia de l'extensió ciclotòmica.

Observació: Les propietats associades a la definició es demostren a continuació en aquest article.

Els primers polinomis ciclotòmics en el cas dels nombres racionals són:

${\displaystyle \Phi _{1}[X]=X-1\,}$

${\displaystyle \Phi _{2}[X]=X+1\,}$

${\displaystyle \Phi _{3}[X]=X^{2}+X+1\,}$

${\displaystyle \Phi _{4}[X]=X^{2}+1\,}$

${\displaystyle \Phi _{5}[X]=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\,}$

${\displaystyle \Phi _{6}[X]=X^{2}-X+1\,}$

${\displaystyle \Phi _{7}[X]=X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\,}$

Contràriament a les aparences, no tots els coeficients dels polinomis ciclotòmics són 1, -1 o 0; el primer polinomi ciclotòmic per al qual un apareix un coeficient diferent de 0, 1, -1 és Φ₁₀₅. 105 = 3×5×7 és el primer nombre natural que és producte de tres nombres primeres senars.

En efecte:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Phi _{105}[X]=&X^{48}+X^{47}+X^{46}-X^{43}-X^{42}-2X^{41}-X^{40}-X^{39}+X^{36}+X^{35}+X^{34}+X^{33}+X^{32}+X^{31}-X^{28}-X^{26}\\&-X^{24}-X^{22}-X^{20}+X^{17}+X^{16}+X^{15}+X^{14}+X^{13}+X^{12}-X^{9}-X^{8}-2X^{7}-X^{6}-X^{5}+X^{2}+X+1\end{array}}}$

En el cas de característica finita, els polinomis precedents no són sempre irreductibles. Es pot considerar el cos de dos elements {0,1} notat F₂. Posseeix les taules d'operacions següents:

El polinomi amb coeficient a Z φ₇[X] té per imatge pel morfisme canònic en F₂[X] (que als coeficients parells els associa 0 i als senars 1) un polinomi que té les arrels setens primitives de la unitat, però aquest polinomi no és irreductible, en efecte:

En ${\displaystyle \quad \mathbb {F} _{2}[X]:\quad X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X^{3}+X^{2}+1)(X^{3}+X+1)\;}$

Al paràgraf Polinomi irreductible de l'article sobre els cossos finits es donen altres exemples.

Sense fer servir les eines sofisticades que representa la teoria de Galois, és possible demostrar propietats fortes sobre els polinomis ciclotòmics. Són les que es presenten en aquest paràgraf. Varen ser demostrades totes per Gauss al seu tractat de 1801.

La definició inicial de polinomi ciclotòmic ${\displaystyle \Phi _{n}[X]}$ és, amb les notacions de la definició:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(X-z_{k})\;}$

Es verifiquen les següents propietats:

• El polinomi Xⁿ-1 es factoritza com segueix, on el producte s'estén sobre el conjunt dels naturals que divideixen n:

${\displaystyle X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}[X]\;}$.

La identitat sobre els graus dona de forma immediata:

${\displaystyle n=\sum _{d|n}\phi (d)\;}$.

Aquesta identitat també es pot obtenir per consideracions sobre les funcions multiplicatives o per un raonament directe de recompte dels elements de l'anell Z/n Z (llegiu Funció Fi d'Euler).

• Si p és un nombre primer, llavors totes les arrels p-èsimes de la unitat excepte 1 són arrels primitives p-èsimes primitives de la unitat, es verifica la igualtat.

${\displaystyle \Phi _{p}(X)={\frac {X^{p}-1}{X-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}X^{k}}$

• Un polinomi ciclotòmic no té més que coeficients enters i el seu monomi dominant té un coeficient igual a u.
• Un polinomi ciclotòmic és irreductible en l'àlgebra dels polinomis amb coeficients racionals i en l'àlgebra dels polinomis amb coeficients enters.

La figura de dreta il·lustra aquestes propietats. El grup de les arrels d'ordre sis queda descrit per quatre polinomis ciclotòmics, dues arrels associades a polinomis de grau u: u i dos, i quatre de grau dos amb els dos valors tercers i els dos valors sisens.

Demostració

:

• Es demostrarà la igualtat següent:

${\displaystyle X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}[X]\;}$

Els dos polinomis de la igualtat a demostrar són polinomis amb coeficient del monomis de grau màxim iguals a un (polinomis mònics). A més són de grau n. N'hi ha prou doncs amb demostrar per exemple que el primer divideix el segon.

El polinomi ${\displaystyle X^{n}-1}$ admet exactament n arrels diferents, és a dir les n arrels n-èsimes de la unitat. Com que és de grau n, no pot admetre per tant cap arrel múltiple. És per tant simplement escindit, produeix monomis dos a dos primers entre ells X-z on z recorre les arrels n-èsimes de la unitat. Ara bé, tota arrel n-èsima és exactament una arrel primitiva d'ordre d per a un únic divisor d de n. Per definició dels polinomis ciclotòmics, z és una arrel de ${\displaystyle \Phi _{d}}$; en altres paraules, X-z divideix ${\displaystyle \Phi _{d}}$. En conseqüència, Xⁿ-1 divideix el producte dels ${\displaystyle \Phi _{d}}$ per a d divisor de n.

Amb això queda establerta la igualtat.

• Si p és un nombre primer llavors totes les arrels p-èsimes de la unitat tret de 1 són arrels p-èsimes primitives de la unitat, i es verifica la igualtat següent:

${\displaystyle \Phi _{p}(X)={\frac {X^{p}-1}{X-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}X^{k}}$

Si z és una arrel primitiva p-èsima d'1, llavors l'ordre de z en el grup multiplicatiu C^* divideix necessàriament p. Com que p és primer, l'ordre de z és 1 o p. L'únic element d'ordre 1 és l'element neutre 1, tota altra arrel de p-èsima és necessàriament una arrel primitiva d'ordre p.

Una altra prova possible pressuposa conegut que l'índex d'Euler de p és p-1: totes les arrels p-èsimes de la unitat excepte una han de ser llavors primitives. Ara bé 1 no és una arrel primitiva d'un nombre primer. Això mostra que el polinomi X^p - 1 no admet més que dos divisors X - 1 i el polinomi ciclotòmic associat.

• Un polinomi ciclotòmic ${\displaystyle \Phi _{n}[X]}$ només té coeficients enters i el coeficient del terme de grau més gran és 1.

El fet que el coeficient del terme més gran sigui 1 és evident.

Es demostra per inducció sobre n que els coeficients del polinomi són enters.

Si n és igual a 1 llavors el resultat és cert dons ${\displaystyle \Phi _{1}[X]}$ = X - 1 (vegeu la secció d'exemples).

Suposant que la propietat és certa per a tot valor més petit o igual a n. Llavors la primera proposició permet afirmar que:

${\displaystyle X^{n+1}-1=Q_{n+1}[X]\Phi _{n+1}[X]\;}$

On el polinomi Q_n+1[X] és el producte de tots els polinomis ciclotòmics d-èsims amb d divisor estricte de n (és a dir d és divisor de n i és diferent de n). Per hipòtesi d'inducció, Q_n+1[X] és el producte de polinomis mònics amb coeficients enters i per tant, ell mateix és un polinomi mònic amb coeficients enters. Llavors es divideix el polinomi amb coeficients en els enters Xⁿ-1 entre Q_n+1[X] en l'anell Z[X] dels polinomis amb coeficients enters. Això és factible ja que Q és unitari; llavors s'obté la identitat:

${\displaystyle X^{n+1}-1=Q_{n+1}[X].A[X]+B[X]\;}$

Amb A[X] i B[X] elements de Z[X], i B de grau estrictament inferior a n. Es calcula a banda la divisió euclidiana en l'anell Q[X] l'anell dels polinomis amb coeficients racionals. Existeix una solució única amb grau de B[X] estrictament inferior a n+1. D'aquí se'n dedueix que les divisions euclidianes en Q[X] i en Z[X] donen exactament el mateix resultat. En conseqüència, B[X] és igual al polinomi nul i A[X] és igual al polinomi ciclotòmic. Per tant el polinomi ciclotòmic és de coeficients enters.

• Un polinomi ciclotòmic és irreductible.

Sigui z la primera de les arrels primitives n-èsimes. És a dir z = exp(2${\displaystyle \pi }$.i/n). Sigui M₁[X] el polinomi minimal de z

M₁[X] és un polinomi mònic amb coeficients enters.

z és arrel del polinomi Xⁿ - 1 per tant el seu polinomi minimal divideix aquest polinomi. Per tant existeix un polinomi amb coeficients enters tal que es verifica la següent igualtat:

${\displaystyle X^{n}-1=\lambda .M_{1}[X].P[X]\;}$

On ${\displaystyle \lambda }$ es tria de tal manera que el polinomi P[X] sigui de coeficients enters. La demostració precedenta ha establert que en aquest context, λ.M₁ [X] també és un polinomi amb coeficients enters. A més com que Xⁿ - 1 és mònic, també ho és M₁ [X] i P[X] i λ és igual a 1.

Si p és un nombre primer que no divideix n llavors z ^p és arrel de M₁[X].

Per reducció a l'absurd, se suposa que no és pas el cas. Sigui M_p [X] el polinomi minimal de z ^p llavors M_p [X] no divideix pas M₁ [X] però divideix Xⁿ - 1. Per tant divideix el polinomi P[X]. Per tant existeix un polinomi Q[X] que verifica la igualtat següent:

${\displaystyle X^{n}-1=M_{1}[X].M_{p}[X].Q[X]\;}$

Un raonament anàleg a aquest sobre P[X] mostra que Q[X] és mònic amb coeficients enters. z ^p és una arrel del polinomi M_p [X] i per tant z és arrel del polinomi M_p [X^p]. Se'n dedueix que M_p [X^p] és un múltiple de M₁ [X]. Per tant existeis un polinomi mònic R[X] amb coeficients enters que verifica:

${\displaystyle M_{p}[X^{p}]=M_{1}[X].R[X]\;}$

Passant a mòdul p, fixant-se que la fórmula del binomi de Newton esdevé

${\displaystyle ({\bar {A}}+{\bar {B}})^{p}={\bar {A}}^{p}+{\bar {B}}^{p}{\mbox{ i per tant }}{\bar {M}}_{p}[X^{p}]={\bar {M}}_{p}[X]^{p}}$ en conseqüència ${\displaystyle X^{n}-{\bar {1}}={\bar {M}}_{1}[X].{\bar {M}}_{p}[X].{\bar {Q}}[X]\quad i\quad {\bar {M}}_{p}[X]^{p}={\bar {M}}_{1}[X].{\bar {Q}}[X]}$

Sigui D[X] un divisor irreductible de grau estrictament superior a 1 de M₁ [X] en l'anell quocient (si no n'admet d'altres que l'1 i ell mateix sobre els enters, llavors no és pas de l'anell quocient) llavors també divideix M_p [X] a l'anell quocient ja que divideix a la seva potència. Se'n dedueix que el seu quadrat divideix Xⁿ - 1 i D[X] divideix la derivada formal de Xⁿ - 1 en l'anell quocient. Per tant D[X] divideix nX^n-1 en l'anell quocient, i aquest polinomi és no nul ja que n i p són primer entre ells. Se'n dedueix que D[X] és igual a X ja que és irreductible. O X no divideix pas Xⁿ - 1 en l'anell quocient. EL que és una contradicció. En conseqüència s'ha demostrat que M_p [X] és igual a M₁ [X].

Si k és un nombre primer amb n llavors z ^k és arrel de M₁[X].

EL nombre k és producte de q nombres primers que no divideixen pas n. Una inducció sobre q permet concloure. Si k val 1 és evident. Suposant que la propietat és certa pel rang q-1, si z' és igual a z a la potència el producte de q-1 nombres primers que no divideixen pas n, z' és arrel de M₁ [X] i el raonament precedent mostra que z' a la potència un nombre primer no divideix pas n però és arrel de M₁ [X], ja que z a la potència el producte de q nombres primers que no divideixen pas n és arrel de M₁ [X].

En conclusió, el polinomi minimal de z conté per arrels com a mínim totes les arrels del polinomi ciclotòmic. El polinomi ciclotòmic per tant, divideix el polinomi minimal. Com que aquest últim és irreductible queda establerta la igualtat.

Sigui p la característica del cos primer, aquest cos és, segons l'aritmètica modular, isomorf a Z/p.Z. Es pot considerar dins d'aquest cos un polinomi del tipus Xⁿ - 1, per exemple en F₂[X] el polinomi X³ - 1. En el cas de Q, existeix una extensió de cos, el cos dels nombres complexos, que conté les arrels del polinomi. La teoria de Galois, amb l'ajuda de les extensions algebraiques permet trobar una extensió en la qual el polinomi és descomponible, és a dir que l'extensió conté totes les seves arrels. Tal cos s'anomena cos de descomposició. En l'exemple citat, el cos és el que en general es nota com F₄ que conté quatre elements. La seva taula és la següent:

En aquest cos, t i 1 + t són les dues arrels suplementàries del polinomi X³ - 1. L'estudi de les extensions algebraiques mostra que tot cos que conté les arrels d'un polinomi conté un subcos isomorf a F₄. En conseqüència tot cos de característica dos que conté les arrels té una còpia exacta de F₄. Les solucions trobades i el seu comportament algebraic són doncs sempre els mateixos. Aquest resultat és general a tota extensió finita i per tant a tot polinomi ciclotòmic.

La teoria dels cossos finits permet anar més lluny. Només les extensions d'un cos primer F_p són una extensió de cardinal una potència de p i existeix una i només una extensió de cardinal p_m on m és un enter estrictament positiu. A més, el grup multiplicatiu de tal extensió és un grup cíclic de cardinal pⁿ - 1 (0 no és element del grup multiplicatiu, ja que no té invers). La figura de la dreta l'il·lustra el cas de F₄, tot element diferent de 0 apareix com una arrel de la unitat. La multiplicació s'ha representat gràficament com es fa per al cos dels complexos. En canvi, l'addició no s'ha representat.

En el cas d'un cos finit de característica p i de cardinal p_d existeix un automorfisme digne d'interès: l'automorfisme de Frobenius. A cada element x del cos li associa x^p. Aquest automorfisme és un generador del grup de Galois i la seva d-èsima potència és igual a la identitat. Per aquesta raó i en aquest context s'anomena sovint al grup de Galois grup de Frobenius. Aquesta igualtat es tradueix en terme polinòmic per:

${\displaystyle X^{p^{d}}=X\quad i\quad X^{p^{d}-1}-1=0\;}$

I tot element del cos diferent de zero és una arrel de la unitat. Un polinomi irreductible diferent de X (que admeti per arrel zero) és un polinomi ciclotòmic. La determinació dels polinomis ciclotòmics correspon doncs a una classificació dels polinomis irreductibles. Se'n dedueix la proposició següent:

• Tot element no nul d'un cos finit és una arrel de la unitat i tot polinomi irreductible diferent de X és un polinomi ciclotòmic.

Sigui z₁ una arrel primitiva n-èsima de la unitat. La teoria de Galois demostra que el seu polinomi mínim admet per arrels les imatges de z₁ pel grup de Frobenius, ja que un cos finit és una extensió de Galois del cos primer. El que es tradueix en termes matemàtics

• El conjunt de les arrels del polinomi ciclotòmic de z₁ és l'òrbita de z₁ per l'acció del grup de Frobenius notada Orb (z₁). La fórmula del polinomi és la següent:

${\displaystyle \Phi _{z_{1}}[X]=\prod _{z\in Orb(z_{1})}(X-z)\;}$

La imatge per un automorfisme d'una arrel n-èsima primitiva de la unitat és una arrel primitiva n-èsima de la unitat, i:

• Un polinomi ciclotòmic d'index n divideix la imatge del polinomi ciclotòmic amb coeficients enters pel morfisme canònic de Z[X] en F_p[X].

Manca saber si els dos polinomis són iguals, és a dir si l'òrbita de z₁ conté totes les arrels primitives n-èsimes de la unitat. L'exemple donat sobre F₂ mostra que no és pas sempre el cas. La teoria de Galois permet afirmar que el grau del polinomi ciclotòmic de z₁ és la dimensió δ del cos de descomposició, considerat com un espai vectorial sobre el cos primitiu. El cos de descomposició és un conjunt de cardinal p^δ. El seu grup multiplicatiu és un grup cíclic d'ordre p^δ -1. L'anàlisi dels grups cíclics mostra que aquest grup conté les arrels n-èsimes de la unitat si i només si el seu cardinal és un múltiple de n. En conseqüència δ és igual a l'ordre multiplicatiu de p mòdul n, és a dir el més petit enter δ tal que p^δ-1 sigui un múltiple de n.

• Un polinomi ciclotòmic d'índex n sobre F_p és de grau l'ordre multiplicatiu de p mòdul n.

El teorema d'Euler diu que:

${\displaystyle p^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n}$

Tanmateix, l'ordre multiplicatiu de p mòdul n és igual a φ(n) si i només si n - 1 no és un múltiple de p. En l'exemple precedent, p és igual a 2, n a set, φ(n) igual a sis, un múltiple de p. El teorema d'Euler es verifica, ja que seixanta-quatre és congruent amb 1 mòdul set, però l'ordre multiplicatiu és igual a tres, ja que vuit és congruent amb 1 mòdul set.

• Si δ designa l'ordre multiplicatiu de p mòdul n, existeixen φ(n)/δ polinomis ciclotòmics d'index n sobre F_p. El seu grau és igual a δ i el seu producte és la imatge del polinomi ciclotòmic d'index n amb coeficients a Z pel morfisme canònic de Z[X] en F_p[X].

Es donen exemples a l'article cos finit.

L'extensió ciclotòmica és per definició el cos de ruptura d'un polinomi ciclotòmic, és a dir el cos més petit que contingui una arrel primitiva n-èsima d'un polinomi ciclotòmic. (Cal recordar que un cos de ruptura d'un polinomi és una extensió de cos que permet una factorització d'aquest polinomi.) Té propietats fortes, que són l'origen de nombroses aplicacions:

• L'extensió ciclotòmica és un espai vectorial sobre el cos dels nombres racionals de dimensió φ(n).

Aquesta propietat és general als cossos de ruptura. La demostració és a l'article extensió algebraica.

• L'extensió ciclotòmica és també el cos de descomposició del polinomi. És doncs una extensió de Galois.

Això significa que el cos més petit que contingui una arrel del polinomi conté també totes les arrels del polinomi. Dir que aquest cos és una extensió de Galois significa dues coses: d'una part, els polinomis mínims d'aquest cos no tenen arrels múltiples (el que és sempre cert per a les extensions sobre els nombres racionals); i d'altra banda, tots els morfismes d'aquest cos en els nombres complexos tenen per imatge el cos mateix. Són doncs automorfismes. Formen una estructura de grup anomenat grup de Galois. La teoria de Galois indica que és la bona estructura per cercar una expressió de les arrels per radicals.

• L'extensió ciclotómica és abeliana.

Això vol dir que el grup de Galois és commutatiu (o abelià). L'equació polinòmica ciclotòmica és llavors resoluble per radicals. En altres paraules, les solucions s'expressen amb l'ajuda només de les quatre operacions (sumar, sostreure, dividir i multiplicar) i de les arrels p-èsimes aplicades un nombre finit de vegades sobre nombres racionals i la unitat dels nombres imaginaris pura i. Aquest resultat es coneix amb el nom de teorema d'Abel. Així és possible per exemple de resoldre per radicals l'equació ciclotòmica que dona l'arrel dissetena de la unitat. És una condició necessària per a la resolució de la construcció amb regle i compàs del polígon regular a disset de costats (vegeu més avall).

• L'extensió ciclotòmica és una torre d'extensió quadràtica si i només si n és de la forma següent:

${\displaystyle n=2^{k}\prod _{i}F_{i}\;}$

On els F_i són els nombres primers de Fermat diferents.

Aquest resultat també es coneix amb el nom de Teorema de Gauss-Wantzel. Una torre d'extensió quadràtica és un cos tal que per a cada element x del cos, existeix una successió de subcossos K₀, K₁, ..., K_p amb K₀ igual al cos de base, aquí el dels racionals, tal que K_p conté x, i, per a tot i entre 1 i p, K_i conté K_{i - 1} i és un espai vectorial de dimensió 2 sobre K_{i - 1}.

Dir que K_i conté K_{i - 1} i és un espai vectorial de dimensió 2 sobre K_{i - 1} només vol dir que tot element de K_i s'expressa com la suma d'un nombre de K_{i - 1} i d'una arrel quadrada d'un nombre de K_{i - 1}. En particular, tot element de K_i s'expressa com a arrel d'un polinomi de grau 2 sobre K_i-1. Aquesta propietat es demostra a l'article Extensió quadràtica.

Ara bé l'article sobre els nombres construïbles ensenya que un punt és construïble si i només si verifica aquesta propietat. Aquesta propietat permet doncs determinar la llista dels polígons construïbles i assegura que ho són efectivament.

Ara bé l'article sobre els nombres construïbles s'explica que un punt és construïble si i només si verifica aquesta propietat. Aquesta propietat permet doncs determinar la llista dels polígons construïbles i assegura que ho són efectivament.

Un nombre primer de Fermat és un nombre primer de la forma ${\displaystyle 2^{2^{k}}+1\,}$ on k és un enter. Els nombres primers de Fermat coneguts són 3, 5, 17, 257 i 65.537.

Demostracions

:

• L'extensió ciclotòmica és també el cos de descomposició del polinomi. És doncs una extensió de Galois.

L'extensió conté z i per tant totes les seves potències, ara bé les potències de z formen el conjunt de les arrels n-èsimes de la unitat i per tant en particular les arrels primitives que són les arrels del polinomi ciclotòmic. Això demostra que Q[z] és el cos de descomposició. En un cos perfecte com al dels racionals (un cos perfecte és un cos on tots els polinomis irreductibles són separables és a dir no tenen arrels múltiples a la clausura algebraica) un cos de descomposició és sempre una extensió de Galois.

• L'extensió ciclotòmica és abeliana.

Sigui d un enter més petit que n i que no divideix n. Llavors z^d és una arrel del polinomi ciclotòmic i existeix almenys un morfisme que envia z sobre z^d (primera proposició del paràgraf Extensió algebraica i sobr-ecos). No existeix més que un únic mitjà de perllongar sobre l'extensió el morfisme m_d que a z li associa z^d. En efecte m_d(zⁱ) = m_d(z)ⁱ = z ^i.d. Ara bé la família dels z ⁱ si i varia de 0 a φ(n) - 1 forma una base de l'extensió. Els automorfismes del grup de Galois estan doncs perfectament determinats.

Es considera llavors l'aplicació del grup multiplicatiu dels elements inversibles de ${\displaystyle \mathbb {Z} /\varphi (n)\mathbb {Z} }$ del grup de Galois que, en la classe de d li associa l'automorfisme m_d. Aquesta aplicació és clarament un isomorfisme de grup. Aquest isomorfisme mostra que el grup de Galois és abelià, i fins i tot cíclic, la qual cosa finalitza la demostració.

• Condició necessària perquè l'extensió sigui una torre d'extensió quadràtica.

Per definició d'una torre d'extensió quadràtica, una condició necessària és que la dimensió de l'extensió sigui una potència de dos. S'estudien llavors els enters n tals que φ(n) sigui una potència de dos.

Fixeu-vos primer de tot que si no és igual a p. q amb p i q primers entre ells llavors es té la igualtat següent φ(n) = φ(p).φ(q) (l'article Funció Fi d'Euler). Es considera llavors la descomposició de n en factors primers (l'article Teorema fonamental de l'aritmètica).

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}\;}$

La funció Fi d'Euler d'una potència d'un nombre primer p^α és igual a (p - 1). p^{α -1}. N'hi ha prou doncs amb trobar una condició necessària i suficient per al factor (p - 1). p^{α -1} sigui una potència de dos i aplicar aquesta condició a cadascun dels factors de la igualtat precedent. Es presenten dos casos, o bé p és igual a 2 i tot valor de α és acceptable, a bé p és un nombre primer de la forma 2^k + 1 amb k un enter estrictament positiu i α és igual a 1.

Si p és un nombre primer de la forma 2^k + 1 llavors k és una potència de dos. Si tal no és el cas, llavors existeixen dos enters a i b tals que k = a. 2^b on a és un enter senar i b un enter. Es verifica la igualtat següent p = 1 + c^a ou c = 2^b. En aquest cas, com que a és senar, es té la igualtat:

${\displaystyle p=(1+c^{a})=(1+c).\sum _{1=0}^{a-1}(-1)^{i}c^{i}\;}$

La igualtat precedent demostra que 1 + c és un divisor de p. Per contraposició, si p és primer, és per tant igual a un nombre de Fermat.

En conclusió n es de la forma següent:

${\displaystyle n=2^{k}\prod _{i}F_{i}\;}$

On els F_i són els nombres primers de Fermat diferents. I la condició necessària queda demostrada.

• Condició suficient perquè l'extensió sigui una torre d'extensió quadràtica.

El polinomi ciclotòmic és llavors de grau φ(n) i és una potència de dos. Notem 2^k aquest grau. El grup de Galois és llavors el grup cíclic de cardinal 2^k.

Demostrem que si l 's un enter inferior a k existeix un subgrup G_l del grup cíclic de cardinal 2^l i tal que si l és no nul llavors G_{l - 1} està inclòs en G_l. Definim G_l com el subgrup engendrat per la classe de 2^k-l. Per definició G_{l - 1} està inclòs en G_l si l és no nul. A més el cardinal de G_l és clarament igual a 2^k-l.

Fixeu-vos que G_l-1 és un subgrup distingit de G_l ja que són grups abelians, i per tant tot subgrup és distingit. Llavors el cardinal del grup quocient de G_l per G_{l - 1} és dos.

El teorema fonamental de la teoria de Galois assegura que si K_{k- l} és el subcos de l'extensió que deixa invariant tots els automorfismes de G_l (es té aquí identificat el grup de Galois i el grup cíclic) llavors si l és no nul K_l és una extensió de Galois de K_{l - 1} de dimensió dos per tant quadràtica, que K₀ és igual al cos dels nombres racionals i que K_k és el cos de descomposició del polinomi ciclotòmic.

S'ha muntat dons una torre d'extensió quadràtica del cos de descomposició i el teorema queda demostrat.

El teorema de Wedderburn afirma que tot cos finit K és necessàriament commutatiu. La demostració usual és relativament curiosa. Primer de tot el polinomi ciclotòmic utilitzat és el de característica zero i no el del cos. Llavors, el seu paper és el d'un recompte. El raonament és per reducció a l'absurd, als cardinals de les classes conjugades se'ls ordena per obtenir el cardinal del grup multiplicatiu del cos. Aquesta igualtat s'expressa per una expressió del tipus:

${\displaystyle q-1=F(q)\Phi _{n}(q)\;}$,

El valor q és el del centre del grup multiplicatiu de K més 1 corresponent al punt zero, F[X] és un polinomi amb coeficients enters. El que implica que F[q] és un valor enter. La finalització de la demostració deixa el recompte per a esdevenir geomètric. Si la igualtat precedent, és verdadera, llavors existeix una arrel primitiva n-èsima de la unitat u que verifica la fita següent:

${\displaystyle |q-u|\leq q-1}$

Com a q - 1 és el cardinal del centre del grup commutatiu q és almenys igual a 2. La figura de la dreta demostra la impossibilitat. La demostració detallada és donada a l'article associat.

Si bé la teoria de Galois pren un aspecte una mica abstracte, dona no obstant això un mètode de resolució efectiva de l'equació ciclotòmica i en conseqüència proposa un mode de construcció amb regle i compàs dels polígons construïbles (vegeu l'article nombre construïble). Estudiem el pentàgon a cinc costats.

Amb una isometria directa en el pla euclidià, els vèrtexs del pentàgon regular són exactament les cinc arrels cinquens de la unitat. Per identificació, són, tret d'1, les arrels del cinquè polinomi ciclotòmic, sigui doncs:

${\displaystyle \Phi _{5}(X)=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\,}$

.

Si bé l'equació corresponent és un polinomi del quart grau, és no obstant això resoluble amb una quantitat de càlcul factible. El cos de descomposició, notat tradicionalment F₅, és (per oblit d'estructura) un espai vectorial racional de dimensió quatre. El seu grup de Galois G és el grup cíclic d'ordre quatre. Admet doncs un generador notat aquí m i un subgrup no trivial H, que conté dos elements, la identitat i m². L'aplicació que a tot element de l'extensió li associa el seu conjugat és un automorfisme que deixa F₅ estable, Q invariant i és d'ordre dos; en conseqüència m² és precisament l'aplicació conjugada. L'objectiu és doncs de trobar el subcos de F₅ de dimensió dos sobre Q, tal que l'aplicació conjugada el deixa estable. Un joc de permutació de les arrels permet llavors portar la resolució de l'equació a tres equacions senzilles de segon grau.

Llavors és relativament senzill obtenir una construcció amb regle i compàs. Sobre la figura il·lustrativa, és per exemple immediat fixar-se que la longitud del segment BI és el quart de l'arrel quadrada de cinc, el radical de la primera extensió.

Càlcul

.

Igual com més amunt, z designa la primera arrel l'arrel primitiva cinquena privilegiada, és a dir exp(i.2.${\displaystyle pi}$/5) i el generador m del grup de Galois és l'automorfisme sobre Q de l'extensió F₅ definit de manera única per la identitat:

${\displaystyle m(z)=z^{2}}$.

Determinem els elements de F₅ que queden invariants per la conjugació complexa m². Ara bé, m²(z)= z⁴; m²(z²)=z³; i finalment m² és d'ordre dos. Per tant u = z + z⁴ i la seva imatge v = m(u) = z² + z³ són clarament invariants per m². A més, la seva suma u+v i el seu producte u.v són invariants per m i per tant pel grup de Galois; un s'espera el que siguin doncs racionals. La suma u+v és la suma de les quatre arrels cinquens i val per tant -1; el producte és per tant igual a la suma de les arrels cinquens primitives, sigui -1.

Se'n dedueix que u i v verifiquen l'equació P[X] = 0 on:

${\displaystyle P[X]=X^{2}+X-1=0\quad i\quad u={\frac {1}{2}}(-1+{\sqrt {5}})\quad v={\frac {1}{2}}(-1-{\sqrt {5}})}$

Aquestes fórmules s'haurien pogut demostrar fixant-se que z⁴ és el conjugat de z. N'és igualment amb z² i z³.

El conjunt dels punts fixos per m², i per tant per H formen una extensió intermediària de Q, notada habitualment F₅^H. El polinomi Φ₅[X] és factoritzat en l'àlgebra F₅^H[X] com segueix:

${\displaystyle \Phi _{5}(X)=(X^{2}-u.X+1)(X^{2}-v.X+1)\,}$ ${\displaystyle u={\frac {1}{2}}(-1+{\sqrt {5}})\quad i\quad v={\frac {1}{2}}(-1-{\sqrt {5}})}$

I en F₅[X], el polinomi pren la forma:

${\displaystyle \Phi _{5}(X)=(X-z)(X-{\bar {z}})(X-z^{2})(X-{\bar {z}}^{2})\,}$ ${\displaystyle z={\frac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}})+{\frac {i}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\quad i\quad z^{2}={\frac {1}{4}}(-1-{\sqrt {5}})+{\frac {i}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$.

El següent nombre primer de Fermat és disset. Correspon a l'heptadecàgon, el polígon regular de disset costats. Si bé la lògica precedent s'aplica amb el mateix èxit, els càlculs són no obstant quelcom més complexos. El polinomi a factoritzar és ara de grau setze. En conseqüència, aquest cas no havia estat tractat abans d'una comprensió profunda dels polinomis ciclotòmics. L'aspecte de càlcul de la resolució del problema és innegable, en canvi sembla relativament limitat per una equació de grau setze sense arrel evident o múltiple.

El mètode de resolució que es proposa aquí no segueix pas el camí de la teoria de Galois. Aquest grup és el grup cíclic d'ordre setze. Conté doncs tres subgrups no trivials. H₁ és un subgrup en vuit elements, conté els múltiples de dos, H₂ conté els múltiples de quatre i H₃ conté dos elements el neutre i el múltiple de vuit, la mateixa observació que en el paràgraf precedent mostra que l'element no neutre correspon a l'aplicació conjugada. Els subcossos associats formen una cadena d'extensions estrictament encaixada tal que la dimensió d'un cos és de dos més que el cos precedent.

${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {F} _{17}^{H_{1}}\subset \mathbb {F} _{17}^{H_{2}}\subset \mathbb {F} _{17}^{H_{3}}\subset \mathbb {F} _{17}\;}$

L'objectiu és llavors de trobar un generador de cada extensió en la precedent. La tècnica emprada anomenada dels períodes de Gauss és sempre la mateixa. Explicitem-la per a la primera extensió. Sigui m² el generador del primer grup (s'ha escollit m generador del grup de Galois), Considerem la suma dels vuit components successius de z la primera arrel primitiva, i la suma de les altres vuit arrels:

${\displaystyle u_{1}=\sum _{i=0}^{7}m^{2i}(z)\quad et\quad u_{2}=\sum _{i=0}^{7}m^{2i+1}(z)\;}$

Llavors aquests dos elements són invariant pel generador m². A més, la seva suma és igual a -1 ja que és la suma de totes les arrels primitives. Són doncs de la forma u₁ = a + b.r i u₂ = a - b.r on a i b són racionals i r el radical generador de l'extensió, ja que es tracta d'una extensió quadràtica. El seu producte és per tant racional. Se'n dedueix una equació del tipus P₁[X] = 0 amb P₁[X] un polinomi del segon grau.

Reiterant tres cops aquest mètode s'obté la solució.

Càlcul

Escollir m tal que m(z) = z² no és la solució ja que m és d'ordre vuit. És doncs més assenyat escollir m tal que m(z) = z³ m i m² restringits a les arrels són per tant dues permutacions descrites per: ${\displaystyle m=\left({\begin{matrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\3&6&9&12&15&1&4&7\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}9&10&11&12&13&14&15&16\\10&13&16&2&5&8&11&14\end{matrix}}\right)}$ ${\displaystyle m^{2}=\left({\begin{matrix}1&9&13&15&16&8&4&2\\9&13&15&16&8&4&2&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}3&10&5&11&14&7&12&6\\10&5&11&14&7&12&6&3\end{matrix}}\right)}$

Llavors u₁ és la suma de les arrels de potències: 1,9,13,15, 16, 8, 4, 2 i u₂ les altres. La seva suma és igual a la suma de les per tant -1 i el seu producte és quatre vegades la suma de les arrels per tant -4. S'obté:

${\displaystyle P_{1}[X]=X^{2}+X-4=0\quad et\quad u_{1}={\frac {1}{2}}(-1+{\sqrt {17}})\quad u_{2}={\frac {1}{2}}(-1-{\sqrt {17}}))\,}$

Aplicant el mateix mètode un segon com es determina m⁴:

${\displaystyle m^{4}={\begin{pmatrix}1&13&16&4\\13&16&4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&15&8&2\\15&8&2&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5&14&12\\5&14&12&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10&11&7&6\\11&7&6&10\end{pmatrix}}}$

Notant llavors v₁ la suma de les arrels d'expoenents 1, 13, 16, 4 notant v₂ la suma de les arrels d'exponents 2, 9, 15, 8 notant v₃ la suma de les arrels d'expoenents 3, 5, 14, 12 i v₄ la suma de les arrels d'exponents 10, 11, 7, 6

${\displaystyle P_{2}[X]=X^{2}-u_{1}X-1=0\quad et\quad v_{1}={\frac {1}{2}}(u_{1}+{\sqrt {4+u_{1}^{2}}})\quad v_{2}={\frac {1}{2}}(u_{1}-{\sqrt {4+u_{1}^{2}}})\,}$ ${\displaystyle P'_{2}[X]=X^{2}-u_{2}X-1=0\quad et\quad v_{3}={\frac {1}{2}}(u_{2}+{\sqrt {4+u_{2}^{2}}})\quad v_{4}={\frac {1}{2}}(u_{2}-{\sqrt {4+u_{2}^{2}}})\,}$

Efectuant el càlcu dona:

${\displaystyle v_{1}={\frac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {1}}7}})\quad v_{2}={\frac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {1}}7}})}$ ${\displaystyle v_{3}={\frac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {1}}7}})\quad v_{4}={\frac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {1}}7}})\,}$

L'etapa següent no demana la determinació de m⁸ ja que s'ha establert que aquesta aplicació és el conjugat, a una arrel d'exponent i li associa doncs l'arrel d'exponent 17 - i. S'escull llavors w₁ com la suma de les arrels d'exponenet 1 i 16 i w₂ com la suma de les arrels d'exponent 13 i 4. S'obté:

${\displaystyle P_{3}[X]=X^{2}-v_{1}X+v_{3}=0\quad et\quad w_{1}={\frac {1}{2}}(v_{1}+{\sqrt {v_{1}^{2}-4v_{3}}})\,}$ ${\displaystyle w_{1}={\frac {1}{8}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {1}}7}}+{\sqrt {68+12{\sqrt {17}}-2{\sqrt {34-2{\sqrt {1}}7}}-16{\sqrt {34+2{\sqrt {1}}7}}+2{\sqrt {578-34{\sqrt {1}}7}}}}\right)\,}$

Amb el càlcul de w₁ n'hi ha prou per obtenir l'arrel primitiva. Se sap per construcció que aquest coeficient és igual a la suma de la primera arrel primitiva i del seu conjugat. Se'n dedueix llavors que:

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}w_{1}+{\frac {i}{2}}{\sqrt {1-w_{1}^{2}}}\,}$

La construcció amb regle i compàs és menys dolorosa del que sembla, u₁ té per radical una longitud igual a la hipotenusa d'un triangle de costat u i un quart. u₂ té per a radical la hipotenusa d'un triangle de costat 2 i u₁. Només l'etapa següent és una mica penosa. Un desenvolupament brutal deixaria en efecte a pensar en una construcció més delicada. Dona.

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {1}}7}}+{\sqrt {68+12{\sqrt {17}}-2{\sqrt {34-2{\sqrt {1}}7}}-16{\sqrt {34+2{\sqrt {1}}7}}+2{\sqrt {578-34{\sqrt {1}}7}}}}\right)\,}$

• JP Escofier Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigés Masson Paris, 1997
• Serge Lang, Algèbre
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres

• (francès) polynôme cyclotomique à petite dose Arxivat 2008-10-02 a Wayback Machine. site homéomath.
• (francès) polynôme cyclotomique niveau licence
• (francès) polynôme cyclotomique par les mathématiques.net Arxivat 2008-09-16 a Wayback Machine.
• (anglès) le site de Saint Andrew pour les références historiques