Langevin-Funktion
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Mplwp_Langevin-function.svg/220px-Mplwp_Langevin-function.svg.png)
Die Langevin-Funktion (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.
Definition
Die Langevin-Funktion[1] ist definiert durch
- ,
wobei den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.
Eine Anwendung
Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter eingeführt:
Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:
- : Magnetisches Moment eines Teilchens
- : Betrag der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
- : Boltzmann-Konstante
- : Absolute Temperatur
Für die Magnetisierung eines Paramagneten ergibt sich dann:
steht dabei für die Stoffmenge und für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.
Reihenentwicklungen
Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:
Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:
Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.
Und folgender Grenzwert gilt:
Dieser Wert ist beim sogenannten Basler Problem die Lösung.
Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:
Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.
Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:
Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.
Eine Näherung[1] der Langevin-Funktion für ist
- .
Für gilt die Näherung[1]
- .
Umkehrfunktion
Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.
Eine verbreitete Näherung, die im Intervall gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:[2]
Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um . Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.[3][4]
Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt[5] und hat den Konvergenzradius 1:
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ a b c Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
- ↑ A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.
- ↑ R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
- ↑ M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 223. Jahrgang, 2015, S. 77–87, doi:10.1016/j.jnnfm.2015.05.007.
- ↑ Laurence A. Belfiore: Physical Properties of Macromolecules. John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0-470-55158-5 S. 277 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)