In der Algebra und Zahlentheorie ist eine proendliche Zahl (auch pro-endliche Zahl, proendliche Ganzzahl oder profinite (Ganz)zahl, englisch: profinite integer) durch die Reste (Restklassen) festgelegt, die sie in allen ganzzahligen Restklassenringen bildet. Damit ist sie ein Element aus der proendlichen Vervollständigung (gesprochen: Zett-Dach) der Gruppe der ganzen Zahlen.[1][2] Die (rationalen) Ganzzahlen lassen sich vermöge des kanonischen injektiven Homomorphismus
in die proendlichen Zahlen einbetten. Dabei wird die Zahl in allen Restklassenringen auf das dortige abgebildet. Dieses „erzeugt“ gewissermaßen
Die so eingebetteten ganzen Zahlen liegen dicht in den proendlichen ganzen Zahlen [3][4] Sie sind in Folgen von Restklassen, und bei den Eigenschaften bspw. einer solchen 1 oder 2 kommt es (wie häufig in der Abstrakten Algebra) nur auf diejenigen an, die sie in ihren Verknüpfungen haben.
Die Galois-Gruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Körpers über diesem Körper ist isomorph zu
Die Bildung eines projektiven Limes erfordert ein sog. projektives System bestehend aus einer gerichteten Indexmenge, die eine Folge von Objekten indiziert, und Übergangsmorphismen zwischen diesen Objekten. Für nimmt man als gerichtete Indexmenge die natürlichen Zahlen die durch die Teilbarkeitsrelation partiell geordnet sind, und als Folge von Objekten die Folge der endlichen zyklischen Gruppen Zu jedem und jedem gibt es den Gruppenhomomorphismus (die „Restklassenabbildung“, die „natürliche Surjektion“)
der wegen wohldefiniert ist. Diese Homomorphismen nimmt man als Übergangsmorphismen zwischen den Objekten. Sie bilden einen Erzeuger von in einen von ab und sind für in einer Weise, nämlich
also
verträglich, wie es für das projektive System und die Bildung des projektiven Limes erforderlich ist.
Im projektiven Limes werden diejenigen Familien von Restklassen zusammengefasst, deren Komponenten miteinander verträglich sind, bei denen also für alle mit gilt:
was durch die Kongruenzen
erfüllt wird. In einer Formel geschrieben ergibt sich:
Eine Elementefamilie, die die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt, die also zum projektiven Limes gehört, wird manchmal auch als „Faser“ bezeichnet.
Die komponentenweise definierte Addition ist stetig. Dasselbe gilt in zusätzlich für die Multiplikation. Dadurch wird zu einer topologischen additiven Gruppe und zu einem topologischen Ring mit 1.
Die natürliche Topologie auf ist die Limestopologie, d. i. die von den diskreten Topologien auf den induzierte Produkttopologie. Diese Topologie ist mit den Ringoperationen verträglich und wird auch Krulltopologie genannt. Gleichzeitig ist die abgeschlossene Hülle von im Produkt was die Dichtheit von in impliziert.
Alternative Konstruktion
Der Ring der ganzen Zahlen kann auch in „klassischer“ Manier über eine uniforme Struktur vervollständigt werden. Sei dazu für
eine Nachbarschaft (der Ordnung ). Die Menge ist ein (abzählbares) Fundamentalsystem[5] und der zugehörige Filter
eine uniforme Struktur für . Die Forderungen an sind leicht verifiziert:
(1) Jede Nachbarschaft und jedes enthält die Diagonale
(2) Ist und , dann ist
(3) Ist , dann ist auch
(4) Zu jedem gibt es ein mit .[6]
(5) Ist , dann ist auch
Die Menge der Cauchy-Netze in ist
welche mit der komponentenweisen Addition eine Gruppe ist. Die Vervollständigung der ganzen Zahlen bezüglich der uniformen Struktur der Teilbarkeit ist die Faktorgruppe der Cauchy-Netze modulo den Nullfolgen (genauer: den Folgen, die Nullnetze bzw. Cauchy-Netze mit Limes sind).[7]
erweist sich als isomorph zu
Beweis
Sei eine Familie von verträglichen Restklassen, also
,
und sei , dann ist für alle mit
,
die Folge der Repräsentanten also ein Cauchy-Netz.
Ist umgekehrt eine Folge von ganzen Zahlen, die ein Cauchy-Netz ist im Sinne der oben definierten uniformen Struktur, dann gibt es zu jedem ein , so dass für alle mit gilt
.
Nimmt man jetzt , dann ist
für alle mit . Die Teilfolge hat denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge, repräsentiert also dasselbe Element . Ist nun , dann ist für alle mit auch und , also
.
Damit erfüllt die Folge von Restklassen die Verträglichkeitsbedingungen und ist eine Familie
.
Ergebnis
Man kann von Folgen von Restklassen zu den Folgen ihrer Repräsentanten übergehen – wie man auch umgekehrt aus einem Cauchy-Netz von Ganzzahlen durch Beigabe von Moduln eine Folge von Restklassen machen kann, die dieselbe proendliche Zahl ausmacht.
Eigenschaften
Die Menge der proendlichen Zahlen ist überabzählbar.
(mit als der Menge der natürlichen Primzahlen) von zum direkten Produkt der p-adischen Zahlringe die ihrerseits projektive Limites
sind.[9] Bei der Umkehrfunktion des Isomorphismus lässt sich zu einem beliebigen Vektor mit Komponenten das Urbild (eindeutig) mithilfe des chinesischen Restsatzes bestimmen, der in einem erweiterten iterativen Verfahren, ähnlich dem im Beweis der Dichtheit im Artikel Limes (Kategorientheorie) gebrachten, angewendet wird.[10]
Wie im projektiven Limes geschehen Addition und Multiplikation im direkten Produkt komponentenweise. Das bedeutet, dass es Nullteiler gibt in und keinen Quotientenkörper haben kann.
Für jede Primzahl bezeichne
die kanonische Projektion (des direkten Produktes). Angewendet auf die Injektion
Komponente
erfüllt sie Die Komposition dagegen entspricht der Multiplikation
mit
Komponente
Eine in konvergente Zahlenfolge konvergiert auch in jedem proendlichen Unterring und umgekehrt. Die Konvergenz für ein einzelnes genügt allerdings nicht. Beispiel: Die Folge die in gegen konvergiert, divergiert sowohl in für Primzahlen ungleich wie auch in Denn ist die Ordnung von in der multiplikativen Gruppe des endlichen Körpers, dann gilt für alle und
Topologie
Die Produkttopologie auf ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen stetig sind.
Diese Topologie fällt mit der oben erwähnten Limestopologie zusammen und wird Krulltopologie genannt. Da der die Isomorphie etablierende Isomorphismus gleichzeitig in beiden Richtungen stetig unter den beiderseitigen Topologien ist, ist er zusätzlich ein Homöomorphismus.
Darstellung
Die Entwicklung einer proendlichen Zahl beinhaltet (wie die einer reellen) im Normalfall unendlich viele Symbole. Die solche Symbolfolgen bearbeitenden Algorithmen können davon nur endliche Anfangsstücke abarbeiten. Bei einem Abbruch ist eine Angabe über die Größenordnung des Fehlers wünschenswert, ähnlich den p-adischen Zahlen, bei denen die letzte ausgeworfene Ziffer genau ist.
Darstellung als direktes Produkt
Die Darstellung einer proendlichen Zahl als direktes Produkt
ist ein in zwei Dimensionen unendlicher[11] „Vektor“. Bei dieser Darstellung sind viele algebraisch-zahlentheoretiche Eigenschaften von anhand der Eigenschaften in den gut erkennbar.[12]
Darstellung als unendliche Reihe
Im projektiven Limes kann man die Halbordnung der Teilbarkeitsrelation durch eine lineare Ordnung ersetzen. Sei dazu mit der „Stellenwert“ (das Gewicht) an der Stelle und mit die „Basis“. Dann ist[13]
wobei jedes Element eine unendliche Familie
von Restklassen ist. Jeder solche Repräsentant lässt sich als Teilsumme
Die Indizierung ist so gewählt, dass die Ziffer Repräsentant einer Restklasse ist – mit einem um 1 höheren Index – und das Folgenglied Repräsentant einer Restklasse dem „Modul“ (an der Stelle ).[16]
Algorithmus
In der Induktionsannahme seien für die Ziffern der Darstellung schon derart bestimmt, dass
Im Induktionsschritt komme die Forderung
hinzu, die für alle Teiler die Verträglichkeitsbedingung
mit einer der kanonischen Projektionen des projektiven Limes erfüllt. Es sollen aber die bereits etablierten Kongruenzen erhalten bleiben, d. h.
gilt, wie es sein soll. ■ Die gezeigte Wahl von führt zum System A003418 der kleinsten gemeinsamen Vielfachen und zum System A051451, während eine Wahl mit dem -fachen Modul und beliebigem zum fakultätsbasierten System führt.
Der Algorithmus vereinigt in jedem Induktionsschritt in Anwendung des chinesischen Restsatzes (unter Zuhilfenahme des erweiterten euklidischen Algorithmus) zwei (simultane) Kongruenzen zu einer neuen, die zu den beiden Ausgangskongruenzen äquivalent ist. (Im Fall nicht-teilerfremder Moduln wird die Lösbarkeit durch die Verträglichkeitsbedingungen des projektiven Systems stets garantiert.) Das Verfahren wirft unabhängig von der Wahl des Basissystems pro Schritt ein Folgenglied einer unendlichen Reihe aus.
Werden umgekehrt Ziffern mit frei gewählt, dann stellt die mit ihnen und dem gegebenen Basissystem gebildete unendliche Reihe eine (eindeutige) proendliche Zahl dar.
Kofinale Folge
Diese Reihe ist nur dann bei jedem beliebigen eine Stellenwertentwicklung, wenn das gegebene Basissystem jede Primzahl unendlich oft enthält, d. h. wenn die Folge der Moduln kofinal in [17] und monoton (wachsend)[18] ist.[11] Dies ist beim System der Fakultäten, dem A003418- und dem A051451-basierten System der Fall. Die Monotonie vermeidet Basen und ist wachsend, da das interessante, das offene Ende von bei den großen Zahlen ist.
Fakultätsbasiert
Im fakultätsbasierten Zahlensystem (engl. factorial number system) werden als Moduln die Fakultäten [19] und damit als Basen gewählt. Lenstra gibt für die Symbolfolge
–1 = … 1010998877665544332211
= (… 10987654321)!
und kennzeichnet sie mit dem tiefgestellten Rufzeichen. Dabei ist die Ziffer 1 ganz links wie in Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 297 hochgestellt, um auszudrücken, dass sie (ggf. zusammen mit anderen hochgestellten Ziffern) bis einschließlich zur nächsten normal geschriebenen Ziffer rechts davon zu einer Dezimalzahl gehört, welche eine einzige Stelle der Darstellung ausmacht. Die Aufschreibung im Horner-Schema ist:
Proendliche Zahlen haben in dieser Darstellung abhängig von ihrem Rest mod 24=4·3·2 die folgenden Entwicklungen in den ersten (rechtesten) 3 Stellen:
≡ xx (mod 24)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
…
(z3 z2 z1)!
000
001
010
011
020
021
100
101
110
111
120
121
200
201
210
211
220
221
300
…
Die Wahl der Fakultäten als Moduln bei der fakultätsbasierten Darstellung bevorzugt die Produkte kleiner Primfaktoren, ganz besonders des Primfaktors 2.
A003418- bzw. A051451-basiert
Die folgende Wahl der Basen und Moduln erzeugt Darstellungen, bei denen die natürlichen Zahlen umgekehrt proportional zu ihrer Größe bevorzugt werden.
Wählt man für die Darstellung als Moduln, dann sind die zugehörigen Basen Ist keine Primzahlpotenz, dann ist Ist aber eine Primzahlpotenz, etwa dann ist eine Primzahl.
gibt die Darstellung von –1 (mit nur Ziffern oder mit den Ziffern fett und den Basen normal gedruckt). Dabei ist die Ziffer 1 ganz links wie in Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 297 hochgestellt, um auszudrücken, dass sie zur selben Stelle gehört wie die nächste normal geschriebene Ziffer.
Lässt man die Basen =1 zusammen mit den zu ihnen gehörenden, verschwindenden Ziffern weg, so hat man
zu den Moduln
P9=2520,
P8=840,
P7=420,
P5=60,
P4=12,
P3=6,
P2=2,
P1=1
resp. zu den Basen
b9=3,
b8=2,
b7=7,
b5=5,
b4=2,
b3=3,
b2=2
die Entwicklung
–1
= …
10
2
1
6
4
1
2
1
= …
103
22
17
65
42
13
22
11
= …
10
·P9+ 2
·P8+ 1
·P7+ 6
·P5+ 4
·P4+ 1
·P3+ 2
·P2+ 1
= …,
27719,
2519,
839,
419,
59,
11,
5,
1
= …,
P11 – 1,
P9 – 1,
P8 – 1,
P7 – 1,
P5 – 1,
P4 – 1,
P3 – 1,
P2 – 1
≡ –1 (mod Pn) für alle n ∈ N.
Die Moduln Pn dieser Darstellung machen (bei entsprechend angepasster Indizierung) die Folge A051451 in OEISaus.[19]
Unterringe
Direkte Summe
Die Elemente im direkten Produkt , bei denen nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind, fasst man in der direkten Summe
zusammen. Eine proendliche Ganzzahl dieser Art kann als -adischeEntwicklung der Form
mit einer Basis und Ziffern aus geschrieben werden. Man sagt, wird zur Basis notiert. Die -Darstellung lässt sich aus den -Darstellungen mit dem chinesischen Restsatz gewinnen.
Die Darstellung ist eindeutig und kommt ohne ein vor das Literal (die Zahlkonstante) gestelltes Vorzeichen aus. Für alle Basen ist
Alle diese Darstellungen zur Basis sind dieselben wie im Ring
der ein Unterring der direkten Summe ist.[23]
Aus dieser Darstellung lässt sich erkennen, dass (zu einem ) die Basis quadratfrei gewählt werden kann.
Primzahlpotenzen
Für jede Primzahl und ist
.
Beweis
Eine Familie von Restklassen aus dem projektiven Limes
erfüllt für alle die Kongruenzen
,
Kongruenzen, die
trivialerweise implizieren. Daraus folgt , also .
Ist umgekehrt eine Familie aus dem projektiven Limes , dann sind für alle die Kongruenzen
erfüllt. Die Familien von Restklassen
sind zwar eine Vergröberung der ursprünglichen Familien. Und sie erfüllen die Bedingungen . Da aber die Folge kofinal ist zu , ergeben sie denselben projektiven Limes. ■
Die folgende Überlegung führt zum selben Ergebnis: Ausgehend von der -adischen Darstellung
mit und kommt man über die Teilsummen direkt zu
,
was wegen die -adische Darstellung ist. Dieser Weg lässt sich auch umkehren – mit dem Ergebnis:
10-adische Zahlen
Die 10-adischen Zahlen sind ein Beispiel für einen -adischen Ring, bei dem die Basis keine Primzahlpotenz ist. Sie werden als projektiver Limes
gebildet und sind ein Unterring der direkten Summe.
Ultrametrik
Auf dem Ring , ja auf ganz ,[24] lässt sich eine Ultrametrik definieren, die zu einem metrischen Raum mit der Krulltopologie macht.
Beweis
Eine rationale Zahl lässt sich schreiben als mit ganzzahligen und einem zu und teilerfremden Zu jedem von 0 verschiedenen gibt es einen maximalen Exponenten mit dieser Eigenschaft. Analog zu wird auf ganz eine Funktion definiert als:[25]
für ,
sonst.
Die Forderungen „Nicht-Negativität“ und „positive Definitheit“ aus der Zusammenstellung Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper sind leicht einzusehen. Die „Multiplikativität“ kann nicht erfüllt werden, da Nullteiler hat (s. Abschnitt #Nullteiler).[26] Die „Dreiecksungleichung“ ergibt sich so: Haben die 2 Zahlen und verschiedene Exponenten und dann hat die Summe den Exponenten Sind sie aber gleich, dann ist mit so dass der neue Exponent keinesfalls kleiner und der neue Betrag keinesfalls größer werden kann. Es gilt also
■
Eine solche Dreiecksungleichung nennt man verschärft. Die mithilfe dieser Funktion definierte Metrik
ist damit eine Ultrametrik. Die von ihr induzierte Topologie stimmt mit der durch die Filter definierten überein.
10-adisch zu 2-adisch und 5-adisch
Ist ferner und sind jeweilige Repräsentanten der Nebenklassen dann entspricht die Bedingung der Kongruenz
Daraus folgt aber für
so dass dieselben Repräsentanten sowohl eine proendliche 2-adische Zahlenfolge wie auch eine proendliche 5-adische Zahlenfolge ausmachen.
können wegen der Teilerfremdheit der Moduln für jedes mit dem chinesischen Restsatz (eindeutig) gelöst werden. wird dadurch festgelegt.
Nullteiler
Endliche Zahlen (abbrechende Zahlfolgen) in den Ringen und liegen allesamt im Ring der ganzen Zahlen. Letzterer Ring enthält bekanntlich keine Nullteiler, genauso wenig die proendlichen Ringe und die ja Quotientenkörper besitzen, nämlich die 2-adischen Zahlen bzw. die 5-adischen Zahlen
Beispiel 1
Wie im Abschnitt #Eigenschaften ausgeführt, entspricht für ein die Projektion einer Multiplikation mit Sind zwei verschiedene Primzahlen, dann ist (komponentenweise Multiplikation in ). Das Produkt zweier proendlicher Zahlen kann also Null sein, auch wenn beide Faktoren von Null verschieden sind.
Die Glieder der Folge in der letzten Zeile sind ≡1 (mod 2n) und teilbar durch (im Limes immer höhere) Potenzen aller anderen Primzahlen.[28]
Für ergibt sich die A051451-Entwicklung
15
= …
8
·P9+ 2
·P8+ 0
·P7+ 5
·P5+ 3
·P4+ 0
·P3+ 0
·P2+ 0
= …,
22176,
2016,
336,
336,
36,
0,
0,
0
Die Glieder der Folge in der letzten Zeile sind ≡1 (mod 5n) und teilbar durch zunehmend höhere Potenzen aller anderen Primzahlen.
Die Folgenglieder des Produkts sind für wachsende Indizes durch immer höhere Potenzen von 10 teilbar, d. h. es ist Nullfolge in ganz
Beispiel 2
Für sei und . Wegen
ist Teiler von . Das bedeutet, dass die Folge im Ring der 10-adischen Zahlen konvergiert. Ferner ist .
Für gilt analog:
und entsprechend
Zu jeder der beiden Folgen lässt sich eine 10-adische Entwicklung der Form mit mit demselben 10-adischen Limes angeben (die sich also nur um eine 10-adische Nullfolge unterscheidet). Andererseits divergieren die Folgen für alle Primzahlen außer 2 und 5.
Wegen ist das Produkt durch beliebig hohe Potenzen von 10 teilbar, so dass in
Übrigens sind die beiden 10-adischen Zahlen Einheitswurzeln, weil und zur Folge hat, dass und
↑Trotzdem gibt es keine mit den Ringoperationen verträgliche Anordnung von : Die proendlichen Zahlen können also nicht angeordnet werden. (Das gilt auch schon für die p-adischen Zahlen.)
↑Im Abschnitt Pseudometrik#Definition einer Spanne durch eine uniforme Struktur wird ausgehend von einer uniformen Struktur, hier unter Zuhilfenahme der Abzählbarkeit des Fundamentalsystems eine Pseudometrik konstruiert, die ihrerseits wieder induziert. Es gibt jedoch sogar eine Metrik, die die uniforme Struktur induziert:
Sei dazu
für ,
sonst.
der „!-Wert“ eines . [ misst die Nähe zur Null (den Grad der Teilbarkeit) von durch Teiler der Form (gesprochen: enn Fakultät) – in Analogie zum -Wert in den Ringen der den maximalen Exponenten bei der Teilbarkeit durch angibt, oder auch zu (s. Lenstra Profinite number theory. S. 21) in den archimedischen Systemen.]
Dann gilt für mit
mit passenden und woraus Der symmetrische Fall führt zu Beide Fälle zusammen ergeben
Die damit gebildete Abstandsfunktion
erfüllt die Forderungen für eine Metrik und ist eine Ultrametrik:
(1) Positive Definitheit:
und
(2) Symmetrie:
(3) Verschärfte Dreiecksungleichung:
Diese Metrik ist wie die uniforme Struktur im Text durch den Grad der Teilbarkeit definiert, so dass sie als uniforme Strukturen übereinstimmen.
NB: Die Folge ist kofinal in . Und jede monotone kofinale Folge definiert eine Metrik mit derselben uniformen Struktur.
↑Eine Implementierung dazu ist der #Algorithmus mit dem System A003418 der kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
↑ abDer hier vorkommende Ordnungstyp ist nicht sondern der in zwei Dimensionen (der Folge der Primzahlen und der Folge der Exponenten) unendliche Ordnungstyp
d. s. die Vektoren
mit für fast alle
Die Ordnungsrelation in geht komponentenweise
Als abzählbarer Ordnungstyp enthält er kofinale Teilfolgen.
↑vorausgesetzt, zu jeder Primzahlpotenz gibt es unter den Stellenwerten ein Vielfaches,
↑Wie bei allen Stellenwertnotationen üblich, b-adischen wie p-adischen, notiert man die kleinen Exponenten auf der rechten Seite der Zeile. Dort starten auch die meisten Algorithmen, insbesondere Addition und Multiplikation. Die p-adischen und die proendlichen Zahlen setzen sich nach links hin zu den höheren Exponenten potentiell bis ins Unendliche fort.
↑Im Unterschied zu den Notationen mit gleichbleibender Basis wechseln die Basen von Stelle zu Stelle, hängen aber von nichts als der Nummer der Stelle ab. Wenn sie mitnotiert werden, sind sie so fix wie eine Skalenteilung an einer Koordinatenachse.
↑Dies ist in Einklang mit der Konvention bei fakultätsbasierten Zahlensystemen (so auch bei Lenstra Profinite Groups Example 2.2).
↑Werden die Basen (oder Moduln) mitnotiert, dann sind damit auch die Restklassen angegeben, auf die sich die Zwischensummen beziehen. Dies gilt auch für Notationen, bei denen die Basen anderweitig bekannt gemacht sind oder erschlossen werden können.
↑mathworld.wolfram.com Eric W. Weisstein „Kleinstes gemeinsames Vielfaches.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
↑Die Stellenwerte (oder Moduln) sind die Gewichte, mit denen die Ziffern zu multiplizieren sind, z. B. die Ziffer 3 mit dem akkumulierten Gewicht 12 = 2·3·2·1.
↑Betrachtet man also diese Reihe als ganzzahlige Zahlenfolge im Ring so ist sie gleich (konvergiert sie gegen die dortige) 1. Man kann sie auch als Folge in auffassen, dann konvergiert sie gegen (die dortige) 0.