Topologie operatoriali debole e forte

In matematica, in particolare in analisi funzionale, le topologie operatoriali debole e forte sono due topologie operatoriali sull'insieme L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} degli operatori limitati tra due spazi di Hilbert ( X , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ X ) {\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{X})} e ( Y , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ Y ) {\displaystyle (Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Y})} . Come suggerito dal nome, la topologia operatoriale debole è più debole della topologia operatoriale forte.

Definizioni

Topologia operatoriale debole

La topologia operatoriale debole è la topologia più debole su L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} tale che il funzionale che manda un operatore limitato T ∈ L ( X , Y ) {\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,Y)} in ℓ ( T x ) {\displaystyle \ell (Tx)} risulti continuo per ogni x ∈ X {\displaystyle x\in X} e ℓ ∈ Y ∗ {\displaystyle \ell \in Y^{*}} , dove Y ∗ {\displaystyle Y^{*}} denota lo spazio duale Y {\displaystyle Y} . Per il teorema di rappresentazione di Riesz, una base di intorni di un operatore limitato T {\displaystyle T} è data dalla famiglia di insiemi

{ V : X → Y  operatore limitato ∣ | ⟨ V ( x ) − T ( x ) , y ⟩ Y | < ε   ∀ ( x , y ) ∈ S } {\displaystyle \{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid |\langle V(x)-T(x),y\rangle _{Y}|<\varepsilon \ \forall (x,y)\in S\}}

al variare di ε ∈ R > 0 {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}} e di S ⊂ X × Y {\displaystyle S\subset X\times Y} di cardinalità finita.

La topologia operatoriale debole non va confusa con la topologia debole per spazi di Banach su L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} . Questa infatti è la topologia più debole che rende continui tutti i funzionali lineari limitati su L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} , non solo quelli della forma T ↦ ℓ ( T x ) {\displaystyle T\mapsto \ell (Tx)} .

Topologia operatoriale forte

La topologia operatoriale forte è la topologia più debole su L ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)} tale che il funzionale che manda un operatore limitato T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} in T x {\displaystyle Tx} risulti continuo per ogni x ∈ X {\displaystyle x\in X} . Una base di intorni di un operatore limitato T {\displaystyle T} è data dalla famiglia di insiemi

{ V : X → Y  operatore limitato ∣ ‖ V ( x ) − T ( x ) ‖ Y < ε   ∀ x ∈ S } {\displaystyle \{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid \|V(x)-T(x)\|_{Y}<\varepsilon \ \forall x\in S\}}

al variare di ε ∈ R > 0 {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}} e di S ⊂ X {\displaystyle S\subset X} di cardinalità finita.

Bibliografia

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Bounded Operators, in Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.


  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica