Algebra Clifforda formy kwadratowej
to para
gdzie
jest algebrą nad
a
przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego
)
![{\displaystyle (j(v))^{2}=Q(v)e_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df239c153c982b61cde0538595d82189eb0912)
gdzie
jest elementem neutralnym mnożenia w
Oznacza się ją
Algebra Clifforda stanowi uogólnienie liczb zespolonych, kwaternionów i wielu innych podobnych konstrukcji algebraicznych.
Definicja
Algebra Clifforda formy kwadratowej
to para
gdzie
jest algebrą nad
a
przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego
)
![{\displaystyle (j(v))^{2}=Q(v)e_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96df239c153c982b61cde0538595d82189eb0912)
gdzie
jest elementem neutralnym mnożenia w
przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: dla każdej algebry
nad ciałem
i dla każdego przekształcenia liniowego
które spełnia równanie
![{\displaystyle (i(v))^{2}=Q(v)e_{0}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364abaf258b3018f77c0f8f0b48df3fcd437e19a)
(dla każdego
) istnieje dokładnie jeden homomorfizm algebr
taki że
tzn. taki, że poniższy diagram
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Definicja_algebry_Clifforda.png/220px-Definicja_algebry_Clifforda.png)
jest przemienny.
Uwagi
(1) Ponieważ każdej formie kwadratowej
odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa
taka, że
to równość z definicji można zapisać także
![{\displaystyle (j(v))^{2}=F(v,v)e_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bebff24a1c312b786db029b6899a580c948b388)
(2) Rozpisując z jednej strony
![{\displaystyle F(v+w,v+w)=F(v,v)+F(w,w)+2F(v,w),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a726e17a30db10cdff5e0de2a952235680b5753)
a z drugiej strony
![{\displaystyle (j(v+w))^{2}=(j(v)+j(w))^{2}=(j(v))^{2}+(j(w))^{2}+j(v)j(w)+j(w)j(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3069d653831fa2865b292ded09a490f1c79dd8ea)
i usuwając zbędne wyrazy, dostaje się
![{\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=2F(v,w)e_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a912f3d534d56d4ae00712cbd9858de26897f7)
(3) Formę kwadratową
na skończenie wymiarowej przestrzeni
z wymiarem równym
da się zawsze sprowadzić do postaci
![{\displaystyle Q(v)=F(v,v)=\sum _{i,j=1}^{n}\eta _{i,j}v_{i}v_{j}=v_{1}^{2}+\ldots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\ldots -v_{p+q}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c499c94892810a2760bb8601b607ae110b8c0ed7)
gdzie
dla
i
poza tym.
W bazie
w której
ma to przedstawienie mamy (oznaczając
przez
)
![{\displaystyle e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=2\eta _{i,j}e_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec5ee8f2a2e012ce6b746a5cf5b5cf790a20d9f)
Z tego powodu algebrę Clifforda formy
oznacza się też
(4) Wektory z
utożsamia się z ich obrazami w
i bardzo często pisze się
zamiast
Wektory z
rozpięte przez
utożsamia się z elementami ciała
Baza i wymiar
Jeżeli przestrzeń liniowa
jest skończenie wymiarowa z wymiarem równym
z bazą
to bazę algebry Clifforda
stanowią
oraz iloczyny (
oznaczamy przez
)
![{\displaystyle e_{i_{1}}\ldots e_{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3d2c655285a7d3eafebc700ea50a4a4e0cd4cc)
gdzie
[1] .
Wynika z tego, że wymiar algebry Clifforda wynosi
![{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\ldots +{\binom {n}{n}}=2^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7877026d4885bd6532449324fd3e33e1ca9a9c9)
Konstrukcja algebry Clifforda
Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna i niekonstruktywna, jednakże algebra Clifforda dowolnej formy kwadratowej
może zostać skonstruowana w następujący sposób[1] . Niech
będzie algebrą tensorową.
oznacza tutaj
-krotny iloczyn tensorowy
W
wybieramy ideał
generowany przez tensory postaci
Algebrę
definiujemy jako iloraz
![{\displaystyle C:=\otimes V/I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfa723a05765e2c514fe31f29431802e4628abb)
wraz z naturalnym włożeniem
danym wzorem
![{\displaystyle j(v):=v+I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e014230b35fbd2e1812af4e0032bdd1b406e6f)
jest algebrą Clifforda
Przykłady
(1) Liczby zespolone tworzą trywialną algebrę Clifforda
Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech
Połóżmy
Oznaczamy
i kładziemy
Przekształcenie liniowe
jest dane wzorem
![{\displaystyle j(x)=(0,x)=xi.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a738dabc3c0a9ff9116ea4bb3af014588252d78)
Mamy
![{\displaystyle (j(v))^{2}=(vi)^{2}=-v^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382f1daa6f4d70da3138e2f60b892db847f4507c)
a zatem forma
jest dana wzorem
![{\displaystyle Q(x)=-x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0124806160850097f4f8719b9d151b3d7c542d8a)
(2) Kwaterniony są algebrą Clifforda
Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech
Połóżmy
Oznaczmy
i połóżmy
![{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e49266d6c47954ed5529505d9ed0fb733153d9)
Te związki pozwalają już znaleźć iloczyn każdych dwóch wektorów z
Przekształcenie liniowe
jest dane wzorem
![{\displaystyle j(x,y)=(0,x,y,0)=xi+yj.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d242e8a2ed3c983af9c1c74bc5ce1a42bb5c805f)
Mamy
![{\displaystyle (j(v))^{2}=(j(x,y))^{2}=(xi+yj)^{2}=x^{2}i^{2}+y^{2}j^{2}+xyij+xyji=-x^{2}-y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae2e6291548ef912a91a5a5dc2e6652fd753ac3)
Forma kwadratowa
jest zatem dana wzorem
![{\displaystyle Q(x,y)=-x^{2}-y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a6772e8be9f598a061df42d5e3c0decf3e84b4)
(3) Rozpatrzmy
-wymiarową podprzestrzeń
złożoną z macierzy postaci
Nazwijmy ją
Jej bazę stanowią macierze
i
Mamy
![{\displaystyle e_{3}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fc66e65b8769523cec86d6f42592a3c44835d4)
Za
przyjmujemy algebrę rozpiętą przez
i macierz jednostkową
ze zwykłym mnożeniem macierzowym. Mamy
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}=(a^{2}+b^{2}){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb7d3d69dfeac3a36bbd2bb4e519f310a44df5d)
a zatem
wraz z
jest algebrą Clifforda formy kwadratowej
danej wzorem
![{\displaystyle Q(v)=Q\left({\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}\right)=a^{2}+b^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75da7b50001580b353a5285e8035fb65163479f)
(4)
- Liczby podwójne to algebra Clifforda
![{\displaystyle C\ell _{1,0}(\mathbb {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77676fd828690f53774c162b2a160ee6021fcd04)
- Kokwaterniony to algebra Clifforda
albo ![{\displaystyle C\ell _{2,0}(\mathbb {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b630a03066c81b04e905c5aa5e4c37edb5ebf5)
- Bikwaterniony to algebra Clifforda
![{\displaystyle C\ell _{0,3}(\mathbb {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2561a3842272fe36491186f542c58d09f6f68d)
- Liczby dualne to algebra Clifforda zdegenerowanej formy
tzn. równej tożsamościowo zero.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Wybrane zagadnienia algebry
Clifford algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].