Antyhomomorfizm
Antyhomomorfizm – funkcja określona na zbiorach z określonym na nich działaniem mnożenia odwracająca jego porządek; homomorfizm odwracający porządek mnożenia.
Antyautomorfizm – antyhomomorfizm będący zarazem przekształceniem wzajemnie jednoznacznym obiektu na siebie.
Grupy
Niech będą grupami. Mówimy, że przekształcenie jest antyhomomorfizmem grup, jeśli
Pierścienie
Niech będą pierścieniami. Mówimy, że przekształcenie jest antyhomomorfizmem pierścieni, jeśli
dla każdego jeżeli pierścień ma jedynkę, to dodatkowo musi być spełniony warunek
Jeśli jest pierścieniem przemiennym, to każdy antyhomomorfizm jest homomorfizmem pierścieni.
Dla algebr nad ciałem przekształcenie musi być liniowe nad daną przestrzenią liniową.
Uwagi
- Warto zauważyć, że jeśli mnożenie w obrazie jest przemienne, to antyhomomorfizm jest tym samym co homomorfizm, zaś antyautomorfizm staje się wtedy zwykłym automorfizmem.
- Antyhomomorfizm można zdefiniować również jako homomorfizm z do obiektu odwróconego (który poza porządkiem mnożenia jest identyczny z ).
- Oczywiście złożenie dwóch antyhomomorfizmów jest zawsze homomorfizmem, gdyż dwukrotne odwrócenie porządku zachowuje go. Podobnie złożenie antyhomomorfizmu z automorfizmem daje inny antyautomorfizm.
- Częstokroć antyautomorfizmy są inwolucjami, tj. złożenie takich antyautomorfizmów ze sobą jest identycznością.
Przykłady
- Przekształcenie elementu w jego element odwrotny jest antyautomorfizmem dowolnej grupy.
- Operacja transponowania macierzy jest przykładem antyautomorfizmu pierścieni.
- Przekształcenie transpozycji (lub sprzężona transpozycja) jest antyautomorfizmem algebry macierzy kwadratowych.
- Sprzężenie hermitowskie jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.
- Ogólnie, *-inwolucja dowolnej *-algebry jest antyautomorfizmem.
- Sprzężona inwolucja w dowolnej algebrze Cayleya-Dicksona, np. kwaternionach i oktawach Cayleya.
- p
- d
- e
odmiany zdefiniowane ogólnymi własnościami | |
---|---|
odmiany dla konkretnych struktur |
|
powiązane tematy |
|