Antyhomomorfizm

Antyhomomorfizm – funkcja określona na zbiorach z określonym na nich działaniem mnożenia odwracająca jego porządek; homomorfizm odwracający porządek mnożenia.

Antyautomorfizm – antyhomomorfizm będący zarazem przekształceniem wzajemnie jednoznacznym obiektu na siebie.

Niech ${\displaystyle G,H}$ będą grupami. Mówimy, że przekształcenie ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ jest antyhomomorfizmem grup, jeśli

${\displaystyle \forall _{g,h\in G}\;\varphi (gh)=\varphi (h)\varphi (g).}$

Niech ${\displaystyle P,R}$ będą pierścieniami. Mówimy, że przekształcenie ${\displaystyle \varphi \colon P\to R}$ jest antyhomomorfizmem pierścieni, jeśli

${\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y),}$

${\displaystyle \varphi (xy)=\varphi (y)\varphi (x)}$

dla każdego ${\displaystyle x,y\in P,}$ jeżeli pierścień ma jedynkę, to dodatkowo musi być spełniony warunek

${\displaystyle \varphi (1)=1.}$

Jeśli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem przemiennym, to każdy antyhomomorfizm jest homomorfizmem pierścieni.

Dla algebr nad ciałem przekształcenie ${\displaystyle \varphi }$ musi być liniowe nad daną przestrzenią liniową.

• Warto zauważyć, że jeśli mnożenie w obrazie ${\displaystyle \varphi }$ jest przemienne, to antyhomomorfizm jest tym samym co homomorfizm, zaś antyautomorfizm staje się wtedy zwykłym automorfizmem.
• Antyhomomorfizm można zdefiniować również jako homomorfizm z ${\displaystyle X}$ do obiektu odwróconego ${\displaystyle Y^{op}}$ (który poza porządkiem mnożenia jest identyczny z ${\displaystyle X}$).
• Oczywiście złożenie dwóch antyhomomorfizmów jest zawsze homomorfizmem, gdyż dwukrotne odwrócenie porządku zachowuje go. Podobnie złożenie antyhomomorfizmu z automorfizmem daje inny antyautomorfizm.
• Częstokroć antyautomorfizmy są inwolucjami, tj. złożenie takich antyautomorfizmów ze sobą jest identycznością.

• Przekształcenie elementu ${\displaystyle x}$ w jego element odwrotny ${\displaystyle x^{-1}}$ jest antyautomorfizmem dowolnej grupy.
• Operacja transponowania macierzy jest przykładem antyautomorfizmu pierścieni.
• Przekształcenie transpozycji (lub sprzężona transpozycja) jest antyautomorfizmem algebry macierzy kwadratowych.
• Sprzężenie hermitowskie jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.
• Ogólnie, *-inwolucja dowolnej *-algebry jest antyautomorfizmem.
• Sprzężona inwolucja w dowolnej algebrze Cayleya-Dicksona, np. kwaternionach i oktawach Cayleya.