Całka Riemanna-Stieltjesa

Całka Riemanna-Stieltjesa, całka Stieltjesa^[1] – jedno z uogólnień całki Riemanna; podał je Thomas Joannes Stieltjes.

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej ${\displaystyle f}$ względem funkcji ${\displaystyle g}$ na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ oznacza się symbolem

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

${\displaystyle P=\{x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{n}:a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\}}$

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i})),}$

gdzie ${\displaystyle c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}].}$

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę ${\displaystyle A}$ (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje liczba ${\displaystyle \delta >0}$ taka, że dla każdego podziału ${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\}}$ o średnicy ${\displaystyle d(P)=\max\{x_{i+1}-x_{i}:i=0,\dots ,n-1\}<\delta }$ i dowolnych ${\displaystyle c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$ zachodzi

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .}$

Jeśli ${\displaystyle g(x)=x,}$ to wprost z definicji widać, że całka ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$ jest całką Riemanna ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli ${\displaystyle g}$ jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.}$

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

${\displaystyle \int _{a}^{b}1\,dg(x)=V_{a}^{b}(g).}$

Zatem jeśli ${\displaystyle g}$ nie ma wahania skończonego, to całka ${\displaystyle \int _{a}^{b}1\,dg(x)}$ nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że ${\displaystyle g}$ ma wahanie skończone. Jeśli ${\displaystyle g(x)}$ ma wahanie skończone, to jest różnicą ${\displaystyle h(x)-j(x)}$ dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dh(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dj(x).}$

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych ${\displaystyle g,}$ by następnie, korzystając z powyższego wzoru, przejść do ogólnych rozważań.