Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

• Funkcja ${\displaystyle \psi (x)}$ jest różniczkowalna w ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle I=\psi (D)}$ jest przedziałem
• Funkcja ${\displaystyle g(x)}$ ma funkcję pierwotną w przedziale ${\displaystyle I,}$ tzn. ${\displaystyle G'(t)=g(t)}$ dla ${\displaystyle t}$ należących do ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle f(x)=g(\psi (x))\cdot \psi '(x),x\in D}$

to funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna w ${\displaystyle D}$ oraz:

${\displaystyle \int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot \psi '(x)dx=G(\psi (x))+C}$

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

${\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx,}$

to można zmienić podstawę całkowania na ${\displaystyle g(x){:}}$

${\displaystyle \int f(g(x))dg(x).}$

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

• Funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna w swej dziedzinie.
• Funkcja ${\displaystyle g}$ określona na przedziale ${\displaystyle [a;b]}$ jest różniczkowalna w sposób ciągły.
• ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla każdego ${\displaystyle x}$ z przedziału ${\displaystyle (a;b).}$
• Obraz funkcji ${\displaystyle g}$ zawiera się w dziedzinie funkcji ${\displaystyle f.}$

Wówczas^[1]:

${\displaystyle \int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt}$

Przykłady

• Obliczając całkę ${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x}}dx,}$ zastosować można podstawienie ${\displaystyle \ln(x)=t,}$ tzn. ${\displaystyle {\tfrac {dx}{x}}=dt,}$ więc:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x}}dx=\int t\ dt={\tfrac {1}{2}}t^{2}+C={\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(x)+C.}$

• Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

${\displaystyle \int \sin(2x+3)dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot 2dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot d(2x+3)=-{\frac {1}{2}}\cos(2x+3)+C.}$

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

• W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne ${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}.}$ Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus ${\displaystyle (R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),}$ stosuje się podstawienie ${\displaystyle t=\cos x}$
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus ${\displaystyle (R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),}$ stosuje się podstawienie ${\displaystyle t=\sin x}$
• Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie ${\displaystyle (R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)),}$ stosuje się podstawienie ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {x}{2}}=\operatorname {arctg} t}$

${\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt}$

zachodzi:

${\displaystyle \sin x={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}}{{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}+1}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

W przypadku podstawienia ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$ mamy dla funkcji postaci ${\displaystyle R(\sin ^{2}x,\cos ^{2}x,\sin x\cos x){:}}$

${\displaystyle x=\operatorname {arctg} t,}$ ${\displaystyle dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{t^{2}+1}}}$

${\displaystyle \sin x\cos x={\frac {\sin x\cos x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t}{t^{2}+1}}}$

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\sin x+\cos x}}=\int {\frac {{\frac {2}{1+t^{2}}}dt}{1+{\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2dt}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}}=}$

${\displaystyle =\int {\frac {dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C=\ln |\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+1|+C}$

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci ${\displaystyle R({\sqrt {ax^{2}+bx+c}},x),}$ gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\;x.}$ Wobec tego otrzymuje się:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2{\sqrt {a}}\;x\;t+t^{2}\implies x(b+2{\sqrt {a}}\;t)=t^{2}-c\implies x={\frac {t^{2}-c}{b+2{\sqrt {a}}\;t}},}$

${\displaystyle dx={\frac {2t(b+2{\sqrt {a}}\;t)-2{\sqrt {a}}\;(t^{2}-c)}{(b+2{\sqrt {a}}\;t)^{2}}}dt.}$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}\;{\frac {c-t^{2}}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}+t.}$

II podstawienie Eulera

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt+{\sqrt {c}}.}$

Zachodzi:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}+2{\sqrt {c}}xt+c\implies ax+b=xt^{2}+2{\sqrt {c}}t\implies x(a-t^{2})=2{\sqrt {c}}t-b\implies x={\frac {2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}},}$

${\displaystyle dx={\frac {2{\sqrt {c}}(a-t^{2})+2t(2{\sqrt {c}}t-b)}{(a-t^{2})^{2}}}dt.}$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {2{\sqrt {c}}t^{2}-bt}{a-t^{2}}}+{\sqrt {c}}.}$

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(x-\alpha )t-{\sqrt {\lambda }}.}$

Wtedy gdy ${\displaystyle (a>0)\vee (b^{2}-4ac>0),}$ to da się tak dobrać ${\displaystyle \alpha ,}$ aby ${\displaystyle \lambda >0.}$

III podstawienie Eulera

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu ${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$ Przyjmuje się wtedy:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-x_{0})(x-x_{1})}}=t(x-x_{1}).}$ Stąd:

${\displaystyle (x-x_{1})t^{2}=a(x-x_{0})\implies x(t^{2}-a)=t^{2}x_{1}-ax_{0}\implies x={\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}},}$

${\displaystyle dx={\frac {2ta(x_{0}-x_{1})}{(t^{2}-a)^{2}}}dt.}$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\left({\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}-x_{1}\right).}$

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: ${\displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx,}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz ${\displaystyle m,n}$ i ${\displaystyle p}$ są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto ${\displaystyle p={\frac {q}{r}},}$ gdzie ${\displaystyle q,r}$ są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

${\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}~dx}$

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

• gdy ${\displaystyle p}$ jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
• gdy ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie ${\displaystyle t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}.}$
• gdy ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}+p}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie ${\displaystyle t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}.}$

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

• ${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})dx}$ – podstawiamy ${\displaystyle x=a\sinh t}$ lub ${\displaystyle x=a\operatorname {tg} t}$
• ${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})dx}$ – podstawiamy ${\displaystyle x=a\cosh t}$ lub ${\displaystyle x=a\sec t}$
• ${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})dx}$ – podstawiamy ${\displaystyle x=a\operatorname {tgh} t}$ lub ${\displaystyle x=a\sin t}$

Inne podstawienia

• Całki typu ${\displaystyle \int R(e^{x})dx}$ obliczamy przez podstawienie ${\displaystyle e^{x}=t.}$ Stąd: ${\displaystyle x=\ln {t},\quad dx={\frac {dt}{t}}.}$
• Całki typu ${\displaystyle \int R\left(x,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{1}},\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{2}},\dots ,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{n}}\right)dx,}$ gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}=t^{k},}$ gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p₁, p₂, ..., p_n.

Zobacz też

• całkowanie przez części

Przypisy