Pierścień topologiczny
Pierścień topologiczny – pierścień w którym określona jest topologia o tej własności, że
- dodawanie jest ciągłe jako funkcja
- mnożenie jest ciągłe jako funkcja
- działanie jest ciągłe jako funkcja
Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem oraz
- działanie jest ciągłe jako funkcja
gdzie jest zbiorem elementów odwracalnych, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.
Przykłady
Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:
- pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze (z działaniami określonymi punktowo),
- pierścień wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
- pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.
W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.
Własności
- Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli jest taką rodziną funkcji, że dla każdego funkcja jest homomorfizmem to pierścień wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń jest pierścieniem topologicznym.
- Składowa spójności zera pierścienia topologicznego jest domkniętym ideałem w oraz zbiór jest składową spójności elementu tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
- W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.
Bibliografia
- Seth Warner: Topological Rings. North-Holland Mathematics Studies, 1993. ISBN 0-444-89446-2.
Linki zewnętrzne
Topological ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].