Wielomian symetryczny – wielomian
który po dowolnej permutacji zmiennych
dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.
Niech
będzie dowolnym wielomianem
zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji
zbioru
-elementowego:
![{\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\x_{\sigma (1)}&x_{\sigma (2)}&x_{\sigma (3)}&\ldots &x_{\sigma (n)}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b03ae51da23e0edee671e4fa396408110931a0)
i otrzymać w ten sposób nowy wielomian
Jeżeli:
![{\displaystyle W_{\sigma }=W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f37f9f2b82eb5f06a452a7a1083195253da18ba)
dla dowolnej permutacji
to
nazywamy wielomianem symetrycznym.
Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień
![{\displaystyle S[x_{1},\dots ,x_{n}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ed87d46c6e69c81ccf57c726a68a0576af0ac6)
a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.
Przykłady wielomianów symetrycznych
Następujące wielomiany są symetryczne:
![{\displaystyle W(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86fb73497cf3f432ff42db7e81eb3743e9ea6638)
![{\displaystyle W(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}+x_{1}+x_{2}+x_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cebef637c7121faf0298ed0e0a57e02b9d9388)
Każdy jednomian postaci
gdzie
jest symetryczny.
Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne
Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian
nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian
jest różny od wielomianu
(zobacz: kontrprzykład).
Dla przykładu udowodnimy, że wielomian
![{\displaystyle W(x_{1},x_{2},x_{3}):=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37131c6faf38ba5ccf1513430cf4ef91d85cd3f8)
nie jest symetryczny.
Rozważmy permutację
Otrzymujemy wielomian
![{\displaystyle W_{\sigma }(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a109edec3d18faae7ed35d6d817d4a39e7ce11b)
Współczynnik przy
wynosi 1 dla
ale 0 dla
Zatem
więc wielomian
nie jest symetryczny.
Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe
Elementarnymi wielomianami symetrycznymi
zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}\leqslant n}x_{i_{1}}\\S_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\\S_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<i_{3}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}\\S_{4}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<i_{3}<i_{4}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}x_{i_{4}}\\&\ldots \\S_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8097cdf2f67ad0277d852cb6664b5b24c441654)
gdzie
Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.
Jeżeli
jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian
taki, że
![{\displaystyle W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=V(S_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),S_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,S_{k}(x_{1},x_{2},\dots x_{n})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abd941b52adc22f7ce7fcaa9dd2b9e4da892bf6)
Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów
można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formalne sformułowanie tego wyniku brzmi:
Twierdzenie. Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)
![{\displaystyle V(S_{1},\dots ,S_{n})\mapsto V(S_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,S_{n}(x_{1},\dots ,X_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed587aea8ffa8d2dc2dd702f70ab4c3559535dc)
jest izomorfizmem algebry wielomianowej
na algebrę wielomianów symetrycznych
(gdzie
oznacza ciało współczynników).
Uwaga. Po lewej stronie powyższego przyporządkowania
jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych
Przykłady:
![{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})=S_{1}^{2}-2S_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b691e8ba53c7041b12bd8eae414761180399c09b)
![{\displaystyle 5x_{1}x_{2}+5x_{1}x_{3}+5x_{2}x_{3}=5(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})=5S_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96953bf9cac7d12eda738c0ffd03654b23ad3359)
![{\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=S_{1}^{3}-3S_{2}S_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ec67114b3a3fb4edeae7106e680884ca95a5af)
Jeżeli wielomian
(gdzie
) ma
pierwiastków
to zachodzą wzory Viète’a:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\S_{2}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\&\ldots \\S_{n}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&=(-1)^{n}\cdot {\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5605a6fa46e381b1d963fadcf108a42f0961df49)
Uwaga. Każdy wielomian stopnia
nad ciałem
ma
pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem
będącym rozszerzeniem ciała
(ale na ogół wielomian ten nie ma
pierwiastków nad samym ciałem
).
Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:
Twierdzenie. Niech
będą pierwiastkami wielomianu
stopnia n, nad ciałem
(same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała
). Niech
będzie wielomianem symetrycznym stopnia
nad tym samym ciałem
(może być nad mniejszym). Wtedy
![{\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})\in k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a9581f8edd6e49dd09bb3523c2b523df7dae6b)
Linki zewnętrzne