Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen werden unter Tangens (Begriffsklärung) aufgeführt
Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)
Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels wird mit bezeichnet, der Kotangens des Winkels mit . In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen für den Tangens und für den Kotangens.
Inhaltsverzeichnis
1Definition
1.1Historisch/geometrisch
1.2Analytische Definition
1.2.1Beziehung zu Taylorreihen
1.2.2Beziehung zur Exponentialfunktion
1.3Formal – mit Definitions- und Wertebereich
2Eigenschaften
2.1Periodizität
2.2Monotonie
2.3Symmetrien
2.4Nullstellen
2.5Polstellen
2.6Wendestellen
2.7Differenzierbarkeit
3Wichtige Funktionswerte
4Umkehrfunktionen
5Asymptoten
6Reihenentwicklung
6.1Tangens
6.2Kotangens
7Ableitungen
8Stammfunktionen
9Komplexes Argument
10Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens
11Rationale Parametrisierung
12Additionstheoreme
13Anwendung: Tangens und Steigungswinkel
14Anwendung in der Physik
15Differentialgleichung
16Siehe auch
17Weblinks
18Einzelnachweise
Definition
Historisch/geometrisch
Definition am Einheitskreis:
Ersten Gebrauch der Tangensfunktion machte der persische Mathematiker Abu al-Wafa (940–998). Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.[1]
Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:
Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:
Daraus folgt unmittelbar:
(siehe auch Sekans und Kosekans)
sowie
Analytische Definition
Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden, weshalb für den Tangens und Kotangens das Gleiche gilt. Komplexe Argumente werden durch analytische Definition ermöglicht. Dabei gilt eine Surjektivität von Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion. Daraus resultierend sind Tangens und Kotangens als komplexwertige Funktion ebenso surjektiv.
Beziehung zu Taylorreihen
Tangens und Kotangens können als Quotienten von je zwei Taylorreihen dargestellt werden. Beruhend auf diesen Reihen lassen sich auch Arkustangens und Arkuskotangens als Quotienten von je zwei Taylorreihen darstellen (siehe Reihenentwicklung).
definiert werden,[2] wobei der Wertebereich je nach Anwendung die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen sind. Um zu verhindern, dass der Nenner Null wird, werden beim Definitionsbereich die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:
im Reellen bzw.
im Komplexen.
Der Kotangens kann analog dazu durch
mit
definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich
im Reellen bzw.
im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner ungleich Null ist.
Für den gemeinsamen Definitionsbereich von und
gilt
Eigenschaften
Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis
Periodizität
Der Tangens und der Kotangens sind periodische Funktionen mit der Periode , es gilt also .
Monotonie
Der Tangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton steigend. Der Kotangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton fallend.
Symmetrien
Tangens und Kotangens sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:
Nullstellen
Tangens:
Kotangens:
Polstellen
Tangens:
Kotangens:
Wendestellen
Tangens:
Kotangens:
Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber weder Sprungstellen noch Extrema.
Differenzierbarkeit
Tangens und Kotangens sind beliebig oft differenzierbar.[3]
Tangens
Kotangens
Wichtige Funktionswerte
Tangens
Kotangens
Ausdruck
num. Wert
0
0,2679491…
0,3249196…
0,4142135…
0,5773502…
0,7265425…
1
1,7320508…
2,4142135…
3,7320508…
Polstelle
[4]
Umkehrfunktionen
Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man folgende Bijektionen:
her. Somit kann man nach der Einschränkung auf die Intervalle resp. die Definitionsbereiche wenigstens um die Endpunkte resp. der Intervalle wieder erweitern und unter Anpassung der Wertebereiche die beiden Funktionen stetig fortsetzen zu
Die Partialbruchzerlegung des Kotangens stammt von Leonhard Euler (§ 178 Introductio in analysin infinitorum, 1748) und wurde als eines seiner schönsten Resultate bezeichnet.[9] Ein einfacher Beweis benutzt den Herglotz-Trick.[10][11] Eine Folgerung aus der Formel ist die Ableitung der Werte der Riemannschen Zetafunktion an den geraden natürlichen Zahlen.
Ableitungen
Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:
Die -ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:
Stammfunktionen
Tangens
mit
Kotangens
mit
Komplexes Argument
mit
mit
Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens
Die Auflösung der Identitäten
nach bzw. ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten
für ,
für .
Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor-Funktion oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:
Rationale Parametrisierung
Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist , so ist
Insbesondere ist
eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes (der dem Parameter entspricht). Einem Parameterwert entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von und mit dem Einheitskreis (s. a. Einheitskreis#Rationale Parametrisierung).
Additionstheoreme
Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten:
Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel:
Anwendung: Tangens und Steigungswinkel
Beispiel für eine Steigung
Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion
besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung der Geraden, d. h. . Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.
Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.
Anwendung in der Physik
Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form mit der Schwerebeschleunigung und einer Konstanten . Dann ergibt sich:
,
wobei die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:
Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn ist, das heißt für ), daran anschließend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.
mit der imaginären Einheit. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte , : Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen und Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.
Commons: Tangensfunktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikiversity: Tangens und Kotangens – Kursmaterialien
Einzelnachweise
↑Josef Laub (Hrsg.): Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 223.
↑Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, Springer 2018, S. 207
↑Dargestellt in Aigner, Ziegler, Das Buch der Beweise, 2018, S. 207 ff., Kapitel 26
↑Jürgen Elstrodt, Partialbruchzerlegung des Kotangens, Herglotz-Trick und die Weierstraßsche stetige, nirgends differenzierbare Funktion, Mathematische Semesterberichte, Band 45, 1998, S. 207–220