Adjonction ⊗-Hom

En mathématiques, l'adjonction ⊗-hom est le résultat affirmant que le produit tensoriel X {\displaystyle -\otimes X} et le foncteur Hom Hom ( X , ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)} forment une adjonction :

Hom ( Y X , Z ) Hom ( Y , Hom ( X , Z ) ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}

L'ordre des termes dans l'expression « adjonction tenseur-hom » reflète leur relation : ⊗ est l'adjoint de gauche, tandis que Hom est l'adjoint de droite.

Définition générale

Supposons que R et S soient des anneaux (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des modules à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :

C = M o d S et D = M o d R . {\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}

Soit X {\displaystyle X} un ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -bimodule et soient F : D C {\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}} et G : C D {\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} les foncteurs définis comme suit:

F ( Y ) = Y R X pour  Y D {\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{pour }}Y\in {\mathcal {D}}}
G ( Z ) = Hom S ( X , Z ) pour  Z C {\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{pour }}Z\in {\mathcal {C}}}

Alors F {\displaystyle F} est adjoint à gauche de G {\displaystyle G} . Cela signifie qu'il existe un isomorphisme naturel

Hom S ( Y R X , Z ) Hom R ( Y , Hom S ( X , Z ) ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}

Il s'agit en fait d'un isomorphisme de groupes abéliens. Plus précisément, si Y {\displaystyle Y} est un ( A , R ) {\displaystyle (A,R)} -bimodule et Z {\displaystyle Z} est un ( B , S ) {\displaystyle (B,S)} -bimodule, alors c'est un isomorphisme de ( B , A ) {\displaystyle (B,A)} -bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée[1].

Counité et unité

Comme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les transformations naturelles de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité

ε : F G 1 C {\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}

a pour morphisme la décrivant

ε Z : Hom S ( X , Z ) R X Z {\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}

donné par évaluation : Pour

ϕ Hom S ( X , Z ) et x X , {\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{et}}\quad x\in X,}
ε ( ϕ x ) = ϕ ( x ) . {\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).}

Les morphismes décrivant l'unité

η : 1 D G F {\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}
η Y : Y Hom S ( X , Y R X ) {\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}

sont définis comme suit : Pour y {\displaystyle y} appartenant à Y {\displaystyle Y} ,

η Y ( y ) Hom S ( X , Y R X ) {\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}

est un homomorphisme de S {\displaystyle S} -modules défini par

η Y ( y ) ( t ) = y t pour  t X . {\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{pour }}t\in X.}

Les équations de counité et d’unité peuvent désormais être explicitement vérifiées. Pour Y {\displaystyle Y} dans D {\displaystyle {\mathcal {D}}} ,

ε F Y F ( η Y ) : Y R X Hom S ( X , Y R X ) R X Y R X {\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}
ε F Y F ( η Y ) ( y x ) = η Y ( y ) ( x ) = y x . {\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}

De même,

G ( ε Z ) η G Z : Hom S ( X , Z ) Hom S ( X , Hom S ( X , Z ) R X ) Hom S ( X , Z ) . {\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}

Pour ϕ {\displaystyle \phi } dans Hom S ( X , Z ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)} ,

G ( ε Z ) η G Z ( ϕ ) ( x ) = ε Z ( ϕ x ) = ϕ ( x ) {\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}
G ( ε Z ) η G Z ( ϕ ) = ϕ . {\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}

et donc

G ( ε Z ) η G Z ( ϕ ) = ϕ . {\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}

Les foncteurs Ext et Tor

Le foncteur Hom hom ( X , ) {\displaystyle \hom(X,-)} commute avec des limites arbitraires, tandis que le produit tensoriel X {\displaystyle -\otimes X} le foncteur commute avec des colimites arbitraires qui existent leurs catégorie de définition. Cependant, de manière générale, hom ( X , ) {\displaystyle \hom(X,-)} ne commute pas avec les colimites, et X {\displaystyle -\otimes X} ne commute pas avec les limites ; cet échec se produit même avec des limites ou des colimites finies. Cette incapacité à préserver les suites exactes courtes motive la définition du foncteur Ext et du foncteur Tor.

Notes et références

  1. J.P. May et J. Sigurdsson, Parametrized Homotopy Theory, A.M.S., (ISBN 0-8218-3922-5), p. 253
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tensor-hom adjunction » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

  • Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, Algèbre I, Springer-Verlag

Articles connexes

  • Curryfication
  • Foncteur Ext
  • Foncteur Tor
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