En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité.
Soit
une catégorie monoïdale. On note
le produit tensoriel opposé à
, c'est-à-dire le bifoncteur défini par
. On appelle tressage sur
un isomorphisme naturel
de
vers
. Autrement dit, pour tous objets
de
,
induit un isomorphisme
Représentation des groupes de tresses
Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus,
.
Si
est un objet de
, quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet
. Puisque les
sont tous égaux à
, on a en particulier
où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs,
induit un isomorphisme
Ainsi, les applications
pour
peuvent être considérées comme des éléments du groupe des automorphismes de
. On en déduit qu'il existe un morphisme de groupes
qui envoie
sur
.
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Produit tensoriel de deux modules
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