Cosecante

Grafico della funzione cosecante
In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto

In trigonometria la cosecante è una funzione definita come il reciproco del seno e indicata solitamente con la notazione csc:[1]

csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x {\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}

Poiché il seno di un angolo è nullo quando l'angolo è pari a k π {\displaystyle k\pi } ( k {\displaystyle k} intero), la cosecante è definita sul dominio dei reali privati dei multipli interi di π {\displaystyle \pi } . In conseguenza di ciò, il grafico della funzione cosecante ha asintoti verticali per x = k π {\displaystyle x=k\pi } .

In un triangolo rettangolo, la cosecante di un angolo acuto corrisponde al rapporto fra l'ipotenusa e il cateto a esso opposto[2]: se tale cateto è unitario, la cosecante dell'angolo corrisponde all'ipotenusa del triangolo.

Caratteristiche

Periodo

La cosecante è una funzione periodica con periodo 2 π {\displaystyle 2\pi } , formalmente:

csc ⁡ x = csc ⁡ ( x + 2 k π ) , k ∈ Z {\displaystyle \csc x=\csc(x+2k\pi ),k\in \mathbb {Z} } .

Valori notevoli

Una tabella di alcuni valori notevoli può essere ottenuta facilmente ricordando che csc ⁡ x = 1 sen ⁡ x {\displaystyle \csc x={1 \over \operatorname {sen} x}} :[3]

x {\displaystyle x} in radianti 0 π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 5 12 π {\displaystyle {\frac {5}{12}}\pi } π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} π {\displaystyle \pi } 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} 2 π {\displaystyle 2\pi }
x {\displaystyle x} in gradi 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°
csc ⁡ ( x ) {\displaystyle \csc(x)} ∄ {\displaystyle \nexists } 6 + 2 {\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}} 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 2 3 3 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}} 6 − 2 {\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}} 1 {\displaystyle 1} ∄ {\displaystyle \nexists } − 1 {\displaystyle -1} ∄ {\displaystyle \nexists }

Derivata

La derivata prima della cosecante si ottiene ricordando la sua definizione ed applicando la regola di derivazione di una quoziente[4]:

d d x csc ⁡ x = d d x 1 sin ⁡ x = − cos ⁡ x sin 2 ⁡ x = − csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\sin x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\csc x\cdot \cot x}

Note

  1. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.183
  2. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6. p.182
  3. ^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
  4. ^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17

Bibliografia

  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.

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