Teorema dei seni
In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.
Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.
Vale quindi
dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e
è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.
La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:
- .
Applicazioni
Il teorema può essere adoperato
- per determinare il raggio del cerchio circoscritto:
- per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo e il lato opposto (vedere figura a lato):
- .
Generalizzazione alle geometrie non euclidee
Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è
- .
Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:
- ,
- ,
- .
Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).
Geometria sferica
In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da
- ,
dove VOABC è il volume del tetraedro OABC.
Geometria iperbolica
In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con
- .
Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)
Si consideri un tetraedro A1A2A3A4 nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro:
- Sk la faccia opposta al vertice Ak;
- sk la superficie di Sk;
- Δk il piano su cui giace Sk;
- θij l'angolo diedro .
Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A1 si definisce nel modo seguente:
- ;
E in modo analogo per gli altri angoli triedri.
Vale quindi
- ,
dove V è il volume del tetraedro.
Voci correlate
- Seno (matematica)
- Trigonometria
- Triangolo
- Teorema del coseno
- Teorema della corda
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- seni, teorema dei, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) law of sines, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema dei seni, su MathWorld, Wolfram Research.
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