Costanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

${\displaystyle \sin 0^{\circ }=0}$

${\displaystyle \cos 0^{\circ }=1}$

${\displaystyle \tan 0^{\circ }=0}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{60}}=\tan 3^{\circ }={\frac {\left[(2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right]\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {(}}5-2{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\;(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+({\sqrt {5}}-1)}{8}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}(2+{\sqrt {5}})+({\sqrt {5}}+1)}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)}{4}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)}{4}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}+1)-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {3}}-1)+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,(1+2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})+(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1}$

${\displaystyle \sin 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,(1-{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}}))}{16}}}$

${\displaystyle \cos 24^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}\,({\sqrt {5}}-1)+2(1+{\sqrt {5}}))}{16}}}$

${\displaystyle \tan 24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {3}}\right)\,(3+{\sqrt {5}})}{4}}}$

${\displaystyle {\mbox{cot}}\,24^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+2{\sqrt {3}}\right)\,({\sqrt {5}}-1)}{4}}}$

${\displaystyle \sin 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}}$

${\displaystyle \cos 27^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}}$

${\displaystyle \tan 27^{\circ }=-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \sin 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(-1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1+{\sqrt {3}})}{16}}}$

${\displaystyle \cos 33^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\,(+1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)(1-{\sqrt {3}})}{16}}}$

${\displaystyle \tan 33^{\circ }={\frac {{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}\,\left(-15+10{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}+4{\sqrt {15}}\right)+5\left((-2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})+2\right)}{10}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}})}}}$

${\displaystyle \sin 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1-{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}(+1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}}$

${\displaystyle \cos 39^{\circ }={\frac {2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\,(1+{\sqrt {3}})+{\sqrt {2}}\,(-1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}}$

${\displaystyle \tan 39^{\circ }={\frac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-2\right)\left((2-{\sqrt {3}})(-3+{\sqrt {5}})+2\right)}{4}}}$

${\displaystyle \sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2(1-{\sqrt {5}})}{16}}}$

${\displaystyle \cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\;(1+{\sqrt {5}})+2{\sqrt {3}}(-1+{\sqrt {5}})}{16}}}$

${\displaystyle \tan 42^{\circ }={\frac {-{\sqrt {1-2{\sqrt {1}}}}\;(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {3}}(1+{\sqrt {5}})}{2}}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1}$

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:

${\displaystyle V=5e^{3}\cos 36^{\circ }/\tan ^{2}36^{\circ }}$

Usando

${\displaystyle \cos \,36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$

${\displaystyle \tan \,36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

${\displaystyle V={\frac {e^{3}(15+7{\sqrt {5}})}{4}}}$.

La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V, il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C), 90° (vertice M) e 90°-180°/N (vertice V).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.

• Costruibili
  • Poligoni regolari a 3*2^X lati, X=0,1,2,3,...
    • 30°-60°-90° triangolo - triangolo (3 lati)
    • 60°-30°-90° triangolo - esagono (6 lati)
    • 75°-15°-90° triangolo - dodecagono (12 lati)
    • 82.5°-7.5°-90° triangolo - tetracosagono (24 lati)
    • 86.25°-3.75°-90° triangolo - ottatetracontagono (48 lati)
    • ...
  • 4*2^X lati
    • 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
    • 67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
    • 88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
    • ...
  • 5*2^X lati
    • 54°-36°-90° triangolo - pentagono (5 lati)
    • 72°-18°-90° triangolo - decagono (10 lati)
    • 81°-9°-90° triangolo - icosagono (20 lati)
    • 85.5°-4.5°-90° triangolo - tetracontagono (40 lati)
    • 87.75°-2.25°-90° triangolo - ottacontagono (80 lati)
    • ...
  • 15*2^X lati
    • 78°-12°-90° triangolo - pentadecagono (15 lati)
    • 84°-6°-90° triangolo - triacontagono (30 lati)
    • 87°-3°-90° triangolo - esacontagono (60 lati)
    • 88.5°-1.5°-90° triangolo - ettoicosagono (120 lati)
    • 89.25°-0.75°-90° triangolo - diettotetracontagono (240 lati)
  • ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
• Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.
  • 9*2^X lati
    • 70°-20°-90° triangolo - ennagono (9 lati)
    • 80°-10°-90° triangolo - ottadecagono (18 lati)
    • 85°-5°-90° triangolo - esatriacontagono (36 lati)
    • 87.5°-2.5°-90° triangolo - doeptacontagono (72 lati)
    • ...
  • 45*2^X lati
    • 86°-4°-90° triangolo - pentatetracontagono (45 lati)
    • 88°-2°-90° triangolo - ennacontagono (90 lati)
    • 89°-1°-90° triangolo - ettaottacontagono (180 lati)
    • 89.5°-0.5°-90° triangolo - triettoesacontagono (360 lati)
    • ...

La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio, non è banale e non sempre può essere effettuata.

Esempio:

${\displaystyle 4\sin 18^{\circ }={\sqrt {2(3-{\sqrt {5}})}}={\sqrt {5}}-1}$

Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha

${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}}}=d+e{\sqrt {c}}\quad {\mbox{se}}\quad a^{2}-b^{2}c}$     è un quadrato perfetto

• Glossario di trigonometria
• Funzioni trigonometriche
• Identità trigonometriche
• Poligono

• Poligoni costruibili, su mathworld.wolfram.com.
• Poligoni regolari costruibili, su mathforum.org. URL consultato il 17 luglio 2004 (archiviato dall'url originale il 12 aprile 2008).
• Nomenclatura dei poligoni, su mathforum.org.

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