Palla (matematica)

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In matematica, una palla (bolla o intorno circolare) è un sinonimo di sfera, che le viene preferito nel caso di spazi non tridimensionali e per gli spazi metrici in generale.

Un sinonimo per palla in geometria e topologia, e in ogni dimensione, è disco; tuttavia, una palla tridimensionale è chiamata generalmente sfera, e una palla bidimensionale (ad esempio un cerchio nel piano) è chiamata generalmente disco.

Spazi metrici

Sia M {\displaystyle M} uno spazio metrico. La palla (aperta) di raggio r > 0 {\displaystyle r>0} centrata nel punto p {\displaystyle p} di M {\displaystyle M} è definita come

B r ( p ) = { x ∈ M ∣ d ( x , p ) < r } , {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},}

dove d {\displaystyle d} è la distanza o metrica. Se il simbolo di minore ( < {\displaystyle <} ) è sostituito dal simbolo di minore o uguale ( ≤ {\displaystyle \leq } ), la definizione precedente diventa quella di una palla chiusa:

B ¯ r ( p ) = { x ∈ M ∣ d ( x , p ) ≤ r } . {\displaystyle {\bar {B}}_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}

Occorre comunque prestare attenzione al fatto che la chiusura di una palla aperta B r ( p ) {\displaystyle B_{r}(p)} in generale non coincide con la palla chiusa B ¯ r ( p ) {\displaystyle {\bar {B}}_{r}(p)} , bensì è inclusa. D'altronde, un elemento x {\displaystyle x} di B r ( p ) {\displaystyle B_{r}(p)} appartiene alla sua chiusura se e solo se esiste una successione di elementi di B r ( p ) {\displaystyle B_{r}(p)} di cui x {\displaystyle x} è il limite. Può essere che d ( x , p ) ≤ r {\displaystyle d(x,p)\leq r} ma non esistere una successione suddetta.

Nota in particolare che una palla (aperta o chiusa) include sempre p {\displaystyle p} stesso, poiché r > 0. {\displaystyle r>0.} Una palla unitaria (aperta o chiusa) è una palla di raggio 1.

Nello spazio euclideo n {\displaystyle n} -dimensionale con l'ordinaria metrica euclidea, se lo spazio è la retta, la palla è un intervallo, e se lo spazio è il piano, la palla è il disco interno a un cerchio. Gli oggetti a quattro dimensioni e superiori sono chiamati iperpalla e ipersfera. Vedi quest'ultima per "volume" e "area".

Con altre metriche la forma di una palla può essere differente, ad esempio:

  • in 2 dimensioni:
    • con la norma 1 (cioè nella geometria Manhattan) una palla è un quadrato con le diagonali parallele agli assi coordinati;
    • con la distanza di Chebyshev una palla è un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati;
  • in 3 dimensioni:
    • con la norma 1 una palla è un ottaedro regolare con le diagonali interne parallele agli assi coordinati;
    • con la distanza di Chebyshev una palla è un cubo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati.

Nota che in molti casi le palle ruotate non sono palle.

Nozioni correlate

Le palle aperte, rispetto a una metrica d {\displaystyle d} formano una base per la topologia indotta da d {\displaystyle d} (per definizione). Questo significa tra l'altro che tutti gli insiemi aperti in uno spazio metrico possono essere scritti come unione di palle aperte.

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è limitato se è contenuto in una palla. Un insieme è totalmente limitato se, dato un qualsiasi raggio, è coperto da un numero finito di palle di quel raggio.

Spazi topologici

In uno spazio topologico, una palla (aperta o chiusa) è un sottoinsieme omeomorfo alla palla euclidea (aperta o chiusa) descritta sopra, ma talvolta privo della sua metrica. Una palla è nota per la sua dimensione: una palla n {\displaystyle n} -dimensionale è detta n {\displaystyle n} -palla e indicata con B n {\displaystyle B^{n}} o D n {\displaystyle D^{n}} . Per n {\displaystyle n} e m {\displaystyle m} distinti, una n {\displaystyle n} -palla non è omeomorfa a una m {\displaystyle m} -palla. Una palla può non essere liscia; se è liscia, non è necessario che sia diffeomorfa a una palla euclidea.

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Palla, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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