Funkcja η
Ten artykuł dotyczy funkcji specjalnej eta. Zobacz też: funkcja Dirichleta - funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych. |
| Ten artykuł od 2017-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Funkcja eta Dirichleta – funkcja określona dla argumentów zespolonych, zdefiniowana jako:
gdzie – funkcja dzeta Riemanna.
Lub w postaci równoważnej z wykorzystaniem szeregów nieskończonych:
Można też przedstawić tę funkcję jako obliczenie całki w myśl wzoru:
gdzie – funkcja gamma Eulera.
Własności funkcji η
Należy zauważyć, że funkcję η warto rozłożyć na dwie funkcje – jej część rzeczywistą i część urojoną Mają one własności:
gdzie oznacza sprzężenie zespolone liczby Z ostatniego równania wynika, że funkcja η przyjmuje wartości rzeczywiste dla rzeczywistych z.
Ponadto możemy zapisać granicę:
Wynika z tego bezpośrednio, że i co można zaobserwować od razu na wykresie poniżej.
Wykresy funkcji η
- Wykres funkcji η(x) dla osi rzeczywistej. Część urojona jest równa zeru.
- Wykres funkcji η(z) dla całej płaszczyzny zespolonej. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł (im bliższy 0 tym ciemniejszy). Oś rzeczywista – poziomo, oś urojona – pionowo.
- p
- d
- e
pogrupowane według tego, jak są definiowane
złożeniem i odwracaniem funkcji elementarnych |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
szeregami |
| ||||||
całkami z funkcji |
| ||||||
równaniami różniczkowymi |