Pole kierunków funkcji gdzie zaznaczono trzy z nieskończenie wielu rozwiązań, które można uzyskać poprzez uzmiennienie stałej
Funkcja pierwotna – dla danej funkcji taka funkcja której pochodna jest równa [1]. Proces wyznaczania funkcji pierwotnej nazywa się również całkowaniem (nieoznaczonym) i można go postrzegać jako działanie odwrotne do wyznaczania pochodnej. Funkcje pierwotne, poprzez podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, związane są z całkami oznaczonymi: całka oznaczona funkcji na danym przedziale jest równa różnicy wartości funkcji pierwotnej w końcach tego przedziału.
Wzory
Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji określonej i ciągłej na pewnym przedziale, to każda inna pierwotna funkcji na tym przedziale różni się od o stałą: istnieje liczba nazywana stałą całkowania, taka, że dla wszystkich Jeżeli dziedzina jest sumą rozłączną dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.
jest najogólniejszą funkcją pierwotną funkcji określonej na jej dziedzinie naturalnej
Otóż, funkcja pierwotna funkcji
gdzie:
Wyrażenie nazywa się całką nieoznaczoną (ogólną funkcją pierwotną) funkcji podcałkowej czasami zmienną nazywa się w tym kontekście zmienną całkowania. Obecność stałej całkowania wynika z faktu, że pochodna stałej jest zawsze równa zeru.
Symbol (stylizowana litera S, od łac. summa), oznaczający operację całkowania, został wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza.
Ponieważ branie funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania jej pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące funkcji pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:
podstawowa reguła całki nieoznaczonej:
całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji (jednorodność):
jeżeli oraz określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji i (addytywność):
Każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną, a jedna z nich, dana jest za pomocą całki oznaczonej funkcji z uzmiennioną górną granicą całkowania:
Uzmiennienie dolnej granicy daje inne funkcje pierwotne (ale niekoniecznie wszystkie z nich). Jest to inne sformułowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.
Całkowanie nie jest sprawą trywialną. Istnieje wprawdzie algorytm Rischa, który pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Wymaga on jednak bardzo wielu obliczeń, jest więc używany tylko w programach komputerowych, wspomagających obliczenia symboliczne.
Stosuje się zatem pewne przekształcenia pozwalające sprowadzić funkcję do prostszej postaci. Niektóre z nich wymienione są poniżej.
Jeśli funkcja rzeczywista jest ciągła w przedziale a funkcja ma ciągłą pochodną w przedziale i jest różnowartościowym odwzorowaniem na to:
wtedy i tylko wtedy, gdy
Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając zamiast Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając zamiast
Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:
Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.
Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:
W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie
W drugim składniku stosowany jest wzór rekurencyjny:
gdzie:
Całka z funkcji wymiernej to całka postaci
gdzie oraz są wielomianami
Rozpatrzmy trzy przypadki
1.
Niech
Jeśli mamy stopień licznika większy lub równy stopniowi mianownika dzielimy licznik przez mianownik
2.
Mianownik posiada te same pierwiastki co mianownik tyle że pojedyncze, a krotność pierwiastków mianownika jest o jeden mniejsza niż krotność pierwiastków mianownika
Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość
aby je obliczyć
3.
Niech
Całkowanie niektórych innych funkcji
Każdą całkę funkcji postaci gdzie jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie[2]:
Wówczas
Funkcje postaci
gdzie daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie
skąd
Dla funkcji postaci
gdzie stosuje się tzw. pierwsze podstawienie Eulera
• tablicę podstawowych całek • tablicę całek funkcji wymiernych • tablicę całek funkcji niewymiernych • tablicę całek funkcji wykładniczych • tablicę całek funkcji logarytmicznych • tablicę całek funkcji trygonometrycznych • tablicę całek funkcji cyklometrycznych • tablicę całek funkcji hiperbolicznych • tablicę całek funkcji odwrotnych do hiperbolicznych