Minor
![]() | Ten artykuł dotyczy wyznacznika macierzy. Zobacz też: Minor – jednostka osadnicza w USA, Minor – osada w Rosji. |
![]() | Ten artykuł od 2019-10 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn[1]. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.
Przykład
Niech dana będzie macierz
typu nad ciałem liczb rzeczywistych.
Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru oraz kolumn o indeksach ze zbioru otrzymuje się minor równy
Powyższy minor nie jest główny, ponieważ Minorem głównym macierzy jest na przykład minor
utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach oraz
Wiodącymi minorami głównymi macierzy są (w rosnącym porządku stopni):
Definicja
Dla danej macierzy typu minorem stopnia gdzie nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia otrzymanej z macierzy poprzez wykreślenie wierszy i kolumn.
Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów wierszy o długości oraz podciągu indeksów kolumn o długości z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego Tak wybrany zbiór indeksów służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy
Jeżeli mają po elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia Minor główny stopnia z którego wykreślono ostatnie wierszy i kolumn, a więc tak, by nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia
Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.
Niekiedy minory macierzy oznacza się: itd., gdzie są kolumnami, wierszami macierzy a jest iloczynem mieszanym.
Własności
- Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie
- Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia zaś każdy minor stopnia wyższego od tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
- Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) jest
- dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
- ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
- Dla danej macierzy można wybrać minorów stopnia (gdzie oznacza symbol Newtona).
- Macierz typu ma wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia ma ich dokładnie
Zobacz też
![]() | Zobacz hasło minor w Wikisłowniku |
Przypisy
- ↑ minor, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-01] .
- p
- d
- e
Niektóre typy macierzy |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
Operacje na macierzach |
| ||||
Niezmienniki |
| ||||
Inne pojęcia |