Macierz idempotentna – macierz kwadratowa
spełniająca równość:
Przykłady
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b91b54980f329f232962acdfe338c68f3b4d6b4)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1\\2&-1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f54444018df24199de9a863954deba323839b8)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}-1&-2&4\\-1&-2&4\\-1&-2&4\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d37019e316dc4f87f07f522f8be23771a39f990)
Własności
- Każda macierz jednostkowa jest idempotentna. Jeśli macierz idempotentna nie jest jednostkowa, to jest osobliwa.
- Wartości własne macierzy idempotentnej są równe zeru lub jedności. Wielomian charakterystyczny macierzy idempotentnej
jest postaci ![{\displaystyle F_{A}(\lambda )=(1-\lambda )^{i}\cdot \lambda ^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec288b896a64a9a186650d2771a9255a6fc4120e)
- Każdą macierz idempotentną można zdiagonalizować do postaci
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}I_{i\times i}&\Theta _{i\times j}\\\Theta _{j\times i}&\Theta _{j\times j}\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13865ff49f7c6ce2fb33ba19f7cd5c3f50aa0276)
- W powyższej postaci klatkowej macierz
jest (kwadratową) macierzą jednostkową, macierze
są macierzami zerowymi odpowiednich wymiarów.
Oczywiście każda macierz powyższej postaci jest macierzą idempotentną.
- Jeśli
jest macierzą idempotentną, to dla dowolnej macierzy nieosobliwej
macierz
też jest macierzą idempotentną.
Ponadto
Każda macierz idempotentna jest macierzą pewnego rzutu w przestrzeni liniowej.
Zobacz też
Macierze
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy | |
---|
Cechy zależne od bazy | |
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe | |
---|
dwuargumentowe | |
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia | |
---|