Rozkład Maxwella
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Maxwell-Boltzmann_distribution_1.png/300px-Maxwell-Boltzmann_distribution_1.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Maxwell-Boltzmann_speed_distributions.png/300px-Maxwell-Boltzmann_speed_distributions.png)
Rozkład Maxwella – wzór określający rozkład prędkości cząstek gazu doskonałego, w którym poruszają się one swobodnie i nie oddziałują ze sobą, z wyjątkiem bardzo krótkich zderzeń sprężystych, w których mogą wymieniać pęd i energię kinetyczną, ale nie zmieniają swoich stanów wewnątrzcząsteczkowych. Cząstka w tym kontekście oznacza zarówno atomy, jak i cząsteczki.
Rozkład ten ma postać[1]:
gdzie:
- – prędkość cząsteczki,
- – masa cząsteczki (m = M/NA, gdzie M – masa molowa gazu, NA – stała Avogadra),
- – stała Boltzmanna (kB = R/NA, gdzie R – stała gazowa),
- – temperatura bezwzględna,
- – gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia cząsteczki o prędkości v.
Z funkcji podanej przez Jamesa Clerka Maxwella wynika, że większość cząsteczek będzie poruszać się z prędkością zbliżoną do pewnej wartości średniej. Ze względu na występujące we wzorze wyrażenie wykładnicze z proporcjonalnym do udział cząsteczek o bardzo dużych prędkościach jest bardzo mały, gdyż jest bardzo małe, gdy jest duże. Z drugiej strony, ze względu na to, że czynnik dąży do zera, gdy maleje, udział cząsteczek o bardzo małych prędkościach jest także znikomy[2].
Parametry rozkładu prędkości
Rozkład prędkości cząsteczek gazu można scharakteryzować trzema parametrami: prędkość najbardziej prawdopodobna, prędkość średnia i prędkość średnia kwadratowa[3][4].
Prędkość najbardziej prawdopodobna to taka prędkość dla której wartość jest największa.
Prędkość średnia określa przeciętną prędkość z jaką poruszają się cząsteczki w układzie. Ze względu na to, że rozkład Maxwella jest asymetryczny (prawostronnie skośny) prędkość średnia jest większa niż prędkość najbardziej prawdopodobna. Krzywa maxwellowska ma „ogon”, który rozciąga się w stronę wysokich temperatur.
Prędkość średnia jest średnią arytmetyczną z prędkości wszystkich cząsteczek:
Prędkość średnia kwadratowa jest pierwiastkiem kwadratowym ze średniej arytmetycznej kwadratów prędkości:
Średnia prędkość kwadratowa jest miarą energii kinetycznej cząsteczek.
Z kinetycznej teorii gazów wynika, że
a więc energia kinetyczna cząsteczki zależy wyłącznie od temperatury, oraz ze względu na to, że zgodnie z Drugą zasadą dynamiki Newtona
otrzymujemy
Jest to fundamentalny wniosek teorii kinetycznej, który łączy wprost prędkość cząsteczek z temperaturą i masą. Wynika z niego, że
średnia prędkość kwadratowa cząsteczek jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z temperatury[2].
Jeśli temperatura wzrośnie dwa razy (w skali Kelvina), to średnia prędkość kwadratowa cząsteczki wzrośnie raza.
Poza tym zachodzi:
Konsekwencje rozkładu prędkości
Rozkład Maxwella pokazuje, że prędkości cząsteczek zależą od temperatury oraz masy molowej. Wraz ze wzrostem temperatury rozkład się poszerza („spłaszcza”), a jego prędkość najbardziej prawdopodobna, jak i średnia prędkość oraz średnia prędkość kwadratowa zwiększają się.
Zależność od masy cząsteczek powoduje z kolei, że w tej samej temperaturze cząsteczki gazów o mniejszej masie molowej będą poruszały się średnio szybciej niż cząsteczki gazów o większej masie molowej.
Takie zachowanie się gazów – dobrze opisywane przez rozkład Maxwella – ma duże znaczenie dla składu atmosferycznego planet. Spora część cząsteczek gazów lekkich będzie się poruszała z prędkościami przewyższającymi drugą prędkość kosmiczną. Oznacza to, że cząsteczka wydostanie się z pola grawitacyjnego planety. Dlatego wodór H2, którego masa molowa wynosi M = 2,02 g/mol i hel He, o masie M = 4,00 g/mol, praktycznie nie występują w atmosferze Ziemi[2].
Statystyka Maxwella-Boltzmanna
Parametr | |
Dziedzina | |
Gęstość prawdopodobieństwa | |
Dystrybuanta | |
Wartość oczekiwana | |
Dominanta | |
Wariancja | |
Współczynnik skośności | |
Kurtoza |
Statystyka Maxwella-Boltzmanna może być przedstawiona w postaci znormalizowanej. Parametry rozkładu odnoszą się do parametrów cząsteczkowych gazu:
lub do parametrów makroskopowych gazu:
gdzie:
- – prędkość cząsteczki,
- – masa cząsteczki,
- – stała Boltzmanna,
- – stała gazowa,
- – temperatura bezwzględna.
Statystyka Maxwella odnosi się do cząsteczek „ciężkich” (pierwiastków i związków chemicznych). W temperaturze wysokiej lub normalnej wszystkie cząsteczki znajdują się w innym stanie energetycznym, ponieważ w takich warunkach stanów jest o wiele więcej niż cząsteczek. To przybliżenie dotyczy wszystkich związków chemicznych i prawie wszystkich pierwiastków (poza helem i wodorem o temperaturze mniejszej od około 0,5 K).
Liczba cząsteczek w danym zakresie prędkości
Prawdopodobieństwo, że cząsteczka będzie miała prędkość mieszczącą się w pewnym zakresie, określa całka w zadanej granicami całkowania funkcji rozkładu Maxwella po prędkości. Z definicji prawdopodobieństwo jest równe stosunkowi cząsteczek spełniających warunek do całkowitej liczby cząsteczek
- – liczba cząsteczek gazu doskonałego poruszających się z prędkością mieszczącą się między prędkościami a
- – liczba cząsteczek gazu doskonałego.
Ponieważ
więc
zatem
Całką w granicach prędkości od do jest funkcja
gdzie to funkcja błędu.
Gdy granicami całkowania jest prędkość równa zeru i równa nieskończoności, prawdopodobieństwo wynosi jeden:
co pokrywa się z warunkiem normalizacji funkcji rozkładu. Prawdopodobieństwo
Liczba molekuł poruszających się z prędkością z zakresu wskazuje zależność a stąd
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Maxwella rozkład, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-08-07] .
- ↑ a b c Peter William Atkins, Podstawy chemii fizycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999, s. 35–37.
- ↑ Zbigniew Kąkol, Fizyka. Moduł V. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika, I-II, Otwarte zasoby edukacyjne. Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. 2006. Pobrane z serwisu Open AGH http://www.open.agh.edu.pl.
- ↑ Michel Le Bellac, Fabrice Mortessagne, Ghassan George Batrouni, Equilibrium and non-equilibrium statistical thermodynamics, Cambridge University Press, 2004, s. 116–119.
![]() | Zobacz multimedia związane z tematem: Rozkład Maxwella |
- PWN: 3938852
- Britannica: science/Maxwell-Boltzmann-distribution-law
- SNL: Maxwell-Boltzmanns_fordelingslov