Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu[1], np. jednomian
jest stopnia drugiego.
Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach[1]. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.
Stopień wielomianu
oznacza się
– skrót od ang. degree[potrzebny przypis].
Niekiedy zakłada się, że jeśli
wówczas
Przykłady
– wielomian stopnia 3,
– wielomian stopnia 5,
– wielomian stopnia 1,
– wielomian stopnia 0,
– wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).
Własności
- Stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:
![{\displaystyle \deg(f\pm g)\leqslant \max(\deg f,\deg g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe5fe070fc12444366ac89ffc67358e65043c77)
- Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:
![{\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eef55cb9dfeaab90a53c0a9460fc0f7e5677b01)
Rozszerzenie pojęcia
Stopień wielomianu
można także zdefiniować metodami analitycznymi:
![{\displaystyle \deg f\colon =\lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be21e78a1ead9051ff3008720d9a603674e08e1f)
Definicję tę można zastosować dla każdej funkcji ciągłej, która od pewnego miejsca nie zmienia znaku i dla której powyższa granica istnieje. Np.:
![{\displaystyle \deg {\tfrac {1}{x}}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c85013da905a8117f7a8add767969d68282367)
![{\displaystyle \deg {\sqrt {x}}={\tfrac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678362943db0af51080fd01026d9679b5582bab2)
![{\displaystyle \deg \log x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e0f4212ee2433b3367e3b9743dfdc6568961b7)
![{\displaystyle \deg \exp x=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49be5b7b8ee77a161e1777aab3ec1e77a7ae48d7)
Jeśli obliczanie granicy prowadzi do wyrażenia nieoznaczonego
to dla funkcji różniczkowalnej można skorzystać z reguły de l’Hospitala. Wówczas
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {(\log |f(x)|)'}{(\log(x))'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62561094b3c55defd6d3bd1871f1998b59de0259)
Jeśli
istnieją, to łatwo sprawdzić, że istnieje
oraz
Faktycznie
![{\displaystyle {\frac {x(fg)'}{fg}}={\frac {x(f'g+fg')}{fg}}={\frac {xf'g}{fg}}+{\frac {xfg'}{fg}}={\frac {xf'}{f}}+{\frac {xg'}{g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59041b29a8444b151e4426fd0c245397814c04ba)
Przypisy
- ↑ a b wielomian, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-05-23] .
Linki zewnętrzne
Michał Niedźwiedź, Stopień wielomianu, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-23]. - Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polynomial Degree, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-05-23].