Wykres funkcji gammaCzy istnieją inne funkcje niż funkcja gamma, które interpolują funkcję silnia dla dowolnych liczb rzeczywistych?
Funkcja gamma (zwana też funkcją gamma Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni[1] na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych.
Definicje
Całkowa
Jeżeli – część rzeczywista liczby zespolonej jest dodatnia, to
– tzw. całka Eulera 2 rodzaju (całka Eulera 1 rodzaju – to funkcja Beta)
Iloczynowa
Dla dowolnych liczb zespolonych mamy
Motywacja
Funkcja gamma może być postrzegana jako rozwiązanie następującego problemu interpolacji:
„Znajdź gładką krzywą, która łączy punkty dane przez funkcję która jest określona dla dodatnich liczb całkowitych ”.
Wzór nie może być użyty dla niecałkowitych wartości ponieważ jest ważny tylko wtedy, gdy jest liczbą naturalną.
Funkcja gamma jest dobrym rozwiązaniem, jednak nie jest to jedyne rozwiązanie: istnieje bowiem nieskończenie wiele ciągłych rozszerzeń funkcji silnia na liczby niecałkowite, gdyż przez zbiór izolowanych punktów (jaki tworzy wykres funkcji silnia) można narysować nieskończenie wiele różnych krzywych.
Funkcja gamma jest najbardziej użytecznym rozwiązaniem w praktyce, ponieważ jest funkcją analityczną (z wyjątkiem niedodatnich liczb całkowitych) i można ją zdefiniować na kilka równoważnych sposobów.
Nie jest to także jedyna funkcja analityczna, która rozszerza silnię, ponieważ dodanie do niej dowolnej funkcji analitycznej, która zeruje się dla dodatnich liczb całkowitych, takich jak gdzie – liczba całkowita, da inną funkcję interpolującą silnię. Takie funkcje nazywa się funkcjami pseudogamma. Najbardziej znaną jest funkcja Hadamarda(inne języki).
Własności funkcji Gamma
Dwa dobre uogólnienia analityczne funkcji silnia na zbiór liczb rzeczywistych: funkcja – wykres niebieski oraz funkcja – wykres zielony. Obie te funkcje przecinają się dla liczb naturalnych.
Tw. Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych (por. wykres)
Tw.
Tw. ,
gdzie – zbiór liczb naturalnych,
tzn. funkcja gamma ma wartości identyczne jak silnia dla liczb naturalnych.
Dla funkcja ma minimum lokalne - jest to jedyne minimum dla liczb , takich że ; dla moduł funkcji rośnie nieograniczenie do .
Funkcja nie jest określona dla – ma tam bieguny o residuum
Wykres funkcji zespolonej – techniki wizualizacji
Wykres funkcji rzeczywistej można narysować w 2 wymiarach. Wykres funkcji zespolonej, mającej zarówno zespoloną dziedzinę, jak i zespolony zbiór wartości, wymagałby 4 wymiarów. Jednym ze sposobów rozwiązania tego problemu jest metoda wizualizacji za pomocą powierzchni Riemanna; inną metodą jest technika kolorowanie dziedziny.
Wykres funkcji zespolonej oś x – części rzeczywiste liczb zespolonych postaci oś y – części urojone tych liczb, oś z – tj. moduł funkcji gamma; kolor – zależy od tj. od wartości argumentu funkcji gamma.