Wykres funkcji W 0 ( x ) {\displaystyle \color {blue}W_{0}(x)} oraz W − 1 ( x ) . {\displaystyle \color {magenta}W_{-1}(x).} z = R e ( W 0 ( x + i y ) ) {\displaystyle z=\mathrm {Re} (W_{0}(x+i\ y))} część rzeczywista funkcji W 0 {\displaystyle W_{0}} z = I m ( W 0 ( x + i y ) ) {\displaystyle z=\mathrm {Im} (W_{0}(x+i\ y))} część urojona funkcji W 0 {\displaystyle W_{0}} z = | W 0 ( x + i y ) | {\displaystyle z=|W_{0}(x+i\ y)|} moduł funkcji W 0 {\displaystyle W_{0}} Funkcja W Lamberta lub funkcja Omega – funkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie, jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do f ( w ) = w e w , {\displaystyle f(w)=we^{w},} gdzie w {\displaystyle w} należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem W ( z ) . {\displaystyle W(z).} Zatem dla każdej liczby zespolonej z {\displaystyle z} zachodzi:
z = W ( z ) e W ( z ) . {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}.} Ponieważ funkcja f {\displaystyle f} nie jest iniekcją , zatem W ( z ) {\displaystyle W(z)} musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji W k ( z ) , {\displaystyle W_{k}(z),} gdzie k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } oznacza numer gałęzi. Dla k = 0 {\displaystyle k=0} przyjmuje się gałąź W 0 ( z ) {\displaystyle W_{0}(z)} opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem k {\displaystyle k} rośnie też część urojona funkcji W k ( z ) . {\displaystyle W_{k}(z).}
Jeśli założymy, że x {\displaystyle x} oraz W ( x ) {\displaystyle W(x)} mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla x ⩾ − 1 / e , {\displaystyle x\geqslant -1/e,} a na odcinku ( − 1 / e , 0 ) {\displaystyle (-1/e,0)} jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że W ( x ) ⩾ − 1 , {\displaystyle W(x)\geqslant -1,} otrzymamy funkcję W 0 ( x ) . {\displaystyle W_{0}(x).} Alternatywna gałąź oznaczana W − 1 ( x ) {\displaystyle W_{-1}(x)} to funkcja malejąca od − 1 {\displaystyle -1} (dla x = − 1 / e {\displaystyle x=-1/e} ) do − ∞ {\displaystyle -\infty } (dla x = 0 − {\displaystyle x=0^{-}} ). Obie te gałęzie przedstawione są na wykresie obok.
Własności funkcji W (z ) Równanie x x = z {\displaystyle x^{x}=z} ma rozwiązanie:
x = ln ( z ) W ( ln z ) = exp W ( ln ( z ) ) . {\displaystyle x={\frac {\ln(z)}{W(\ln z)}}=\exp W(\ln(z)).} Pierwotną funkcji W {\displaystyle W} można znaleźć, całkując przez podstawienie : jeżeli w = W ( x ) , {\displaystyle w=W(x),} to x = w e w , {\displaystyle x=we^{w},} wówczas:
∫ W ( x ) d x = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C . {\displaystyle \int W(x)\ dx=x\left(W(x)-1+{\tfrac {1}{W(x)}}\right)+C.} Pochodna funkcji W {\displaystyle W} wynosi:
d W ( z ) d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) ) d l a z ≠ − 1 e . {\displaystyle {\frac {dW(z)}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad \mathrm {dla\ } z\neq -{\frac {1}{e}}.}
Dowód Różniczkując równanie z = W ( z ) e W ( z ) {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}} obustronnie względem z , {\displaystyle z,} otrzymamy
1 = W ( z ) e W ( z ) W ′ ( z ) + W ′ ( z ) e W ( z ) = W ′ ( z ) ( W ( z ) e W ( z ) + e W ( z ) ) , {\displaystyle 1=W(z)e^{W(z)}W'(z)+W'(z)e^{W(z)}=W'(z)\left(W(z)e^{W(z)}+e^{W(z)}\right),} W ′ ( z ) = 1 z + e W ( z ) = W ( z ) W ( z ) z + W ( z ) e W ( z ) = W ( z ) z ( W ( z ) + 1 ) . {\displaystyle W'(z)={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{W(z)z+W(z)e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{z(W(z)+1)}}.}
Zastosowanie Funkcja W {\displaystyle W} znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych . Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązanych za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy Y = X e X , {\displaystyle Y=Xe^{X},} przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:
Y = X e X ⟺ X = W ( Y ) . {\displaystyle Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y).}
Przykład 1 2 t = 5 t {\displaystyle 2^{t}=5t} ⇒ 5 t = e t ln 2 {\displaystyle \Rightarrow 5t=e^{t\ln 2}} ⇒ 1 5 t = e − t ln 2 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{5t}}=e^{-t\ln 2}} ⇒ − ln 2 5 ⏟ Y = − t ln 2 ⏟ X e − t ln 2 ⏞ X {\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}=\underbrace {-t\ln 2} _{X}e^{\overbrace {-t\ln 2} ^{X}}} ⇒ − t ln 2 ⏟ X = W ( − ln 2 5 ⏟ Y ) {\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-t\ln 2} _{X}=W{\Big (}\underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}{\Big )}} ⇒ t = − W ( − ln 2 5 ) ln 2 {\displaystyle \Rightarrow t=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}}
Przykład 2 Jeśli wartość z z z … {\displaystyle z^{z^{z^{\ldots }}}} jest skończona, można ją obliczyć w następujący sposób:
c = z z z … , {\displaystyle c=z^{z^{z^{\ldots }}},} ⇒ c = z c . {\displaystyle \Rightarrow c=z^{c}.} Używając rozumowania przedstawionego powyżej, otrzymujemy:
c = − W ( − ln z ) ln z . {\displaystyle c=-{\frac {W\left(-\ln z\right)}{\ln z}}.}
Uwaga Aby udowodnić, że wartość z z z … {\displaystyle z^{z^{z^{\ldots }}}} istnieje, należy rozpatrzyć ciąg:
a = ( z , z z , z z z , … ) {\displaystyle a=(z,z^{z},z^{z^{z}},\dots )} lub (w postaci rekurencyjnej):
{ a 1 = z a n = z a n − 1 {\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=z\\a_{n}=z^{a_{n-1}}\end{cases}}} i udowodnić istnienie jego granicy . Jeśli ona istnieje, wtedy zachodzi równość
lim n → ∞ a n = c . {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=c.}
Przykład 3 Równanie różniczkowe :
y ′ ( t ) = a y ( t − 1 ) {\displaystyle y'(t)=ay(t-1)} ma równanie charakterystyczne λ = a e − λ , {\displaystyle \lambda =ae^{-\lambda },} czyli λ = W k ( a ) , {\displaystyle \lambda =W_{k}(a),} gdzie k {\displaystyle k} to numer gałęzi (jeśli a {\displaystyle a} jest rzeczywiste , wtedy wystarczy uwzględnić gałąź W 0 ( a ) {\displaystyle W_{0}(a)} ). Rozwiązanie wynosi zatem:
y ( t ) = e W k ( a ) t . {\displaystyle y(t)=e^{W_{k}(a)\,t}.}
Ważne wartości W 0 ( − π 2 ) {\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {\pi }{2}})} = π 2 i {\displaystyle ={\tfrac {\pi }{2}}i} W 0 ( − 1 ) {\displaystyle W_{0}(-1)} ≈ − 0,318 13 + 1,337 23 i {\displaystyle \approx -0{,}31813+1{,}33723i} W 0 ( − 1 e ) {\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {1}{e}})} = − 1 {\displaystyle =-1} W 0 ( − ln 2 2 ) {\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {\ln 2}{2}})} = − ln 2 {\displaystyle =-\ln 2} W 0 ( 0 ) {\displaystyle W_{0}(0)} = 0 {\displaystyle =0} W 0 ( e ) {\displaystyle W_{0}(e)} = 1 {\displaystyle =1} W 0 ( 1 ) {\displaystyle W_{0}(1)} = Ω ≈ 0,567 14329 {\displaystyle =\Omega \approx 0{,}56714329} (stała Omega )
Linki zewnętrzne Krzysztof K. Oleszkiewicz Krzysztof K. , Funkcja Lamberta , [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, lipiec 2014, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] (pol. ) . Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Lambert W-Function , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2023-05-31].