Równanie różniczkowe Laplace’a
Równanie różniczkowe Laplace’a – równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci[1]:
gdzie funkcja jest klasy Znak oznacza operator Laplace’a. Dla w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:
Alternatywne zapisy równania to:
czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:
- gdzie to operator nabla.
Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.
Interpretacja fizyczna
Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.
Równanie Laplace’a występuje m.in.[2]:
- w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
- w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
- w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
- w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
- w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.
Interpretacja matematyczna
Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.
Rozwiązania
Wzór Poissona dla półprzestrzeni
Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni spełniającym na brzegu dla warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Wzór Poissona dla kuli
Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli spełniającym na (hiper-)sferze warunek jest:
gdzie jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Laplace’a równanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-06] .
- ↑ Feynman, Leighton i Sands 1974 ↓, s. 121.
Bibliografia
- Richard Phillips Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Feynmana wykłady z fizyki. Wyd. III. T. II. Cz. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974.
Literatura dodatkowa
- Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.
Linki zewnętrzne
Laplace equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
- p
- d
- e
- NKC: ph135790
- Britannica: topic/Laplaces-equation
- БРЭ: 2133273
- NE.se: laplace-ekvationen