Okrąg Apoloniusza – zbiór punktów, dla których stosunek odległości od pewnych dwóch ustalonych punktów jest stały i różny od jeden[1] . Nazwany tak na cześć Apoloniusza z Pergi, który badał krzywe stożkowe .
Dowód oparty na użyciu działań wektorowych w przestrzeni euklidesowej Niech d 1 , {\displaystyle d_{1},} d 2 {\displaystyle d_{2}} będą nierównymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Niech C będzie wewnętrznym punktem podziału AB w stosunku d 1 : d 2 {\displaystyle d_{1}:d_{2}} i D zewnętrzny punkt podziału AB w tym samym stosunku, d 1 : d 2 {\displaystyle d_{1}:d_{2}}
P C → = d 2 P A → + d 1 P B → d 2 + d 1 , P D → = d 2 P A → − d 1 P B → d 2 − d 1 . {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}},\ {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}.} Następnie,
P A : P B = d 1 : d 2 {\displaystyle \mathrm {PA} :\mathrm {PB} =d_{1}:d_{2}} ⇔ d 2 | P A → | = d 1 | P B → | {\displaystyle \Leftrightarrow d_{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|=d_{1}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|} ⇔ d 2 2 | P A → | 2 = d 1 2 | P B → | 2 {\displaystyle \Leftrightarrow d_{2}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}|^{2}=d_{1}^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}|^{2}} ⇔ ( d 2 P A → + d 1 P B → ) ⋅ ( d 2 P A → − d 1 P B → ) = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})\cdot (d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }})=0} ⇔ d 2 P A → + d 1 P B → d 2 + d 1 ⋅ d 2 P A → − d 1 P B → d 2 − d 1 = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}+d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}+d_{1}}}\cdot {\frac {d_{2}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}-d_{1}{\overrightarrow {\mathrm {PB} }}}{d_{2}-d_{1}}}=0} ⇔ P C → ⋅ P D → = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}=0} ⇔ P C → = 0 → ∨ P D → = 0 → ∨ P C → ⊥ P D → {\displaystyle \Leftrightarrow {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}={\vec {0}}\vee {\overrightarrow {\mathrm {PC} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {PD} }}} ⇔ P = C ∨ P = D ∨ ∠ C P D = 90 ∘ . {\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {P} =\mathrm {C} \vee \mathrm {P} =\mathrm {D} \vee \angle {\mathrm {CPD} }=90^{\circ }.} Dlatego punkt P znajduje się na okręgu o średnicy CD .
Zobacz też
Przypisy ↑ okrąg Apoloniusza , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-16] .