Regularna liczba kardynalna
Regularna liczba kardynalna – nieskończona liczba kardynalna, która nie może być przedstawiona jako suma mniej niż κ zbiorów mocy mniejszej niż κ. Nieskończone liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.
W dalszej części tego artykułu zakładamy ZFC. (Bez AC, niektóre z definicji należy sformułować inaczej i niektóre stwierdzenia nie są prawdziwe).
Definicje
Pojęcia wstępne
- Liczba porządkowa jest początkową liczbą porządkową jeśli nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
- Przy założeniu ZFC, każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalna – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez
- Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
- Następnik liczby kardynalnej to pierwsza liczba kardynalna większa od (jest on oznaczany przez ).
- Kofinalność (albo współkońcowość) nieskończonej liczby kardynalnej to najmniejsza liczba kardynalna taka, że każdy zbiór mocy może być przedstawiony jako suma wielu zbiorów mocy mniejszej niż
- dla pewnych zbiorów o tej własności, że dla wszystkich zachodzi
- Warto zauważyć, że zdefiniowana powyżej współkońcowość liczby κ zgadza się ze współkońcowością tej liczby jako porządku liniowego:
- istnieje rosnący ciąg taki że oraz
Liczby regularne i liczby singularne
Niech będzie liczbą kardynalną.
Jeśli to mówimy, że jest liczbą regularną.
Jeśli to mówimy, że jest liczbą singularną.
Podstawowe własności
- są liczbami regularnymi.
- Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.
- jest najmniejszą liczbą singularną. Następną taką liczbą jest
- Jeśli jest graniczną liczbą porządkową, to Zatem dla granicznych jest regularną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy gdy jest liczbą nieosiągalną.
- Z punktu widzenia arytmetyki liczb kardynalnych, liczby regularne zachowują się całkowicie inaczej niż liczby singularne:
- Zachowanie funkcji dla liczb regularnych jest ograniczone jedynie przez warunek i przez trywialny warunek Przypuśćmy mianowicie, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że dla wszystkich regularnych Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych
- Jeszcze nie rozumiemy do końca funkcji dla liczb singularnych. Teoria PCF demonstruje nietrywialne ograniczenia zachowania tej funkcji.
Hipoteza liczb singularnych (SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej jeśli to . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję dla liczb regularnych. Naruszenie SCH jest związane z dużymi liczbami kardynalnymi: Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne w modelach wewnętrznych; a jeśli istnieją wystarczająco duże liczby kardynalne, można skonstruować modele naruszające SCH.
- p
- d
- e
Liczby kardynalne
rodzaje |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
tezy |
| ||||||
powiązane pojęcia | |||||||
uogólnienia | |||||||
powiązane nauki | |||||||
badacze |
Encyklopedie internetowe (liczba kardynalna):
- Catalana: 0267791