Teoria PCF
Teoria PCF (od ang. possible cofinalities), teoria możliwych współkońcowości – dział teorii mnogości związany z arytmetyką liczb kardynalnych. Jednym z centralnych obiektów rozważanych w tej teorii jest zbiór współkońcowości pewnych zredukowanych porządków produktowych.
Stworzył ją izraelski matematyk Saharon Shelah w latach 80. XX wieku i do dziś jest ona rozwijana, głównie przez niego. Wyniki tej teorii demonstrują, że – mimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych w arytmetyce liczb kardynalnych – wciąż można dowieść wielu własności na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZFC), o ile zadaje się właściwe pytania. Z teorii możliwych współkońcowości można także wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych.
Rys historyczny
- W 1970 roku, rozwijając metodę forsingu, William Easton[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych, której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że dla wszystkich regularnych Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych
- Twierdzenie Eastona przesunęło środek ciężkości badań w arytmetyce kardynalnej w kierunku hipotezy liczb singularnych (SCH) i jej naruszeń. SCH to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej jeśli to . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję dla liczb regularnych. Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne, ale też z dużych liczb można wywnioskować niesprzeczność ¬SCH.
- Z wyników Karola Prikrego[2] i Jacka Silvera wynika, że jeśli istnieje liczba superzwarta, to istnieje pojęcie forsingu, które forsuje, że dla pewnej silnie granicznej singularnej liczby kardynalnej mamy Wielu matematyków zaczęło w latach 70. XX wieku sądzić, że w arytmetyce liczb kardynalnych wszystkie twierdzenia ZFC są już odkryte i wszystko, co nie jest przez te stwierdzenia zdeterminowane, jest niezależne od ZFC (być może, zakładając istnienie odpowiednio dużych liczb kardynalnych).
- W 1978 Shelah opublikował pracę, w której użył nowatorskich metod do budowy pewnych algebr mocy [3]. Metody te były zwiastunem nowej teorii: teorii PCF. W kolejnych latach Shelah systematycznie prowadził badania w tym kierunku, z czasem wykazując, że ciągle jeszcze istnieją nieodkryte (i zdumiewające) twierdzenia ZFC.
- W 1994 Shelah opublikował systematyczny i kompleksowy wykład teorii PCF[4].
- Czytelnik nieprzyzwyczajony do bardzo trudnego stylu publikacji Shelaha, a zainteresowany głębszym zrozumieniem tej teorii, może więcej skorzystać z przeglądowego artykułu Maxa Burkego i Menachema Magidora[5] lub monografii M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza[6]. Bardzo godnym polecenia jest też artykuł przeglądowy Uriego Abrahama i Menachema Magidora[7].
Podstawowe pojęcia
Pojęcia wstępne
- Przypuśćmy, że jest praporządkiem. Definiujemy współkońcowość praporządku jako
- Przypuśćmy, że jest niepustym zbiorem i dla mamy daną liczbę porządkową Dalej przypuśćmy, że jest ideałem podzbiorów zbioru Definiujemy praporządek na przez
- wtedy i tylko wtedy gdy
Wybrane definicje z teorii PCF
- Dla liczb kardynalnych określamy współczynnik pokryciowy jako najmniejszą możliwą moc rodziny (czyli elementy rodziny są podzbiorami zbioru mocy mniejszej niż ) takiej, że
- Niech będzie niepustym zbiorem regularnych liczb kardynalnych. Określamy:
- jest zbiorem wszystkich takich funkcji że
- jeśli jest ideałem na to oznacza porządek częściowy otrzymany w kanoniczny sposób z praporządku na
- jest ideałem maksymalnym na
- Niech będzie singularną liczbą kardynalną. Zdefiniujmy zbiór jako
- jest zbiorem liczb regularnych, oraz jest maksymalnym ideałem na zawierającym wszystkie ograniczone podzbiory
- Kładziemy
Przykładowe twierdzenia teorii PCF
- Przypuśćmy, że jest graniczną liczbą porządkową oraz że (czyli nie jest punktem stałym skali alefów). Wówczas a stąd
- Na przykład (gdzie ).
- Jeśli jest przedziałem liczb regularnych i to jest również przedziałem liczb regularnych, który zawiera element największy oraz i też
- Hipoteza PCF mówi, że nawet jeśli jest przedziałem liczb regularnych i
- Jeśli jest nieskończoną liczbą kardynalną, to
- Z powyższych wyników możemy wywnioskować np. że:
- (a) jeśli gdzie jest graniczną liczbą porządkową, to
- (b) jeśli gdzie jest graniczną liczbą porządkową, to
- W szczególności, jeśli to
Jeśli hipoteza PCF jest prawdziwa, to nawet
- Jeśli oraz zbiór jest stacjonarny w to
Powszechnie znaną (choć niekoniecznie popieraną) tezą Shelaha jest, że jeśli zinterpretujemy właściwie pierwszy problem Hilberta (używając podejścia motywowanego przez teorię PCF), to ma on odpowiedź pozytywną[8]. Podstawą do tej tezy jest następujące twierdzenie, nazywane revised GCH.
- Dla liczb kardynalnych określamy
- oraz dla każdego zbioru mocy można znaleźć zbiór taki że oraz
- Revised GCH: Jeśli jest silnie graniczną liczbą nieprzeliczalną, to dla każdej liczby kardynalnej można znaleźć takie, że
- implikuje
Przypisy
- ↑ Easton, William B.: Powers of regular cardinals. „Ann. Math. Logic” 1 (1970), s. 139–178.
- ↑ Prikry, Karel L.: Changing measurable into accessible cardinals. „Dissertationes Math. / Rozprawy Mat.” 68 (1970).
- ↑ Shelah, Saharon: Jonsson algebras in successor cardinals. „Israel J. Math.” 30 (1978), s. 57–64.
- ↑ Shelah, Saharon: Cardinal arithmetic. „Oxford Logic Guides”, 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853785-9.
- ↑ Burke, Maxim R.; Magidor, Menachem: Shelah’s pcf theory and its applications. „Ann. Pure Appl. Logic” 50 (1990), s. 207–254.
- ↑ Holz, M.; Steffens, K.; Weitz, E.: Introduction to cardinal arithmetic. „Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher”. Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. ISBN 3-7643-6124-7.
- ↑ Abraham, Uri; Magidor, Menachem: Cardinal Arithmetic, w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronach pierwszego autora.
- ↑ Shelah, Saharon: The generalized continuum hypothesis revisited. „Israel J. Math.” 116 (2000), s. 285–321.
- p
- d
- e
rodzaje |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
tezy |
| ||||||
powiązane pojęcia | |||||||
uogólnienia | |||||||
powiązane nauki |
| ||||||
badacze |
- p
- d
- e
- p
- d
- e
działy ogólne |
| ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
działy czyste | |||||||||||
działy stosowane |
| ||||||||||
powiązane zajęcia |
|