Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.
Określenie
Dla każdej liczby kardynalnej
symbol
oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów
- Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych
definiuje się ciąg
(jest to klasa właściwa – zob. paradoks Buralego-Fortiego):
- (i)
jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową, - (ii)
![{\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a931c1226493f44d06ce62b1c419c25e593449)
- (iii) jeśli
jest liczbą graniczną, to ![{\displaystyle \beth _{\gamma }=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0849d7c451ec7eda5f5da6867d434c1ec4bb855b)
Ciąg
jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.
Konstrukcję tę można uogólnić. Niech
będzie liczbą kardynalną.
- Przez indukcję po liczbach porządkowych
zdefiniować można ciąg ![{\displaystyle \langle \beth _{\alpha }(\kappa )\colon \,\alpha \in \mathbf {ON} \rangle {:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a8391f5ed5aef576c8a7966513815f28a4f18a)
- (a)
![{\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e114f9f2fb58ac75f2dd80a6215572bb54bc7871)
- (b)
![{\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b94824650752998007c24b33f901e273f18b3c)
- (c) jeśli
jest liczbą graniczną, to ![{\displaystyle \beth _{\gamma }(\kappa )=\lim \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa )=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }\beth _{\alpha }(\kappa ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497d492c46385bd5b579db323878741fd4e603e3)
Własności i przykłady
dla każdego ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
- Przyjmując aksjomatykę Zermela-Fraenkla, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że
a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że ![{\displaystyle (\forall \alpha \in \mathbf {ON} )(\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c850be840bf95b9f22e683b606c49397db41e9)
jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru
wszystkich liczb rzeczywistych.
jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru
a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z
w ![{\displaystyle \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9de9049e03e5e5a0cab57076dbe4a369c1e3a7)
- Istnieją liczby porządkowe
takie, że
(są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli
jest liczbą silnie nieosiągalną, to
ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu ![{\displaystyle \beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03a28821e6e550f9f8f2127875ecf5a5f9e5702)
ma tę szczególną własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej
mamy również ![{\displaystyle 2^{\kappa }<\beth _{\omega }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d32674023362d80e685eed60262d8a0c56ab52f)
Bibliografia
- Thomas Jech: Set theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Berlin: Springer-Verlag, 2002, s. 55, 56. ISBN 3-540-44085-2.