Arytmetyka liczb kardynalnych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami kardynalnymi i działaniami na nich.
Arytmetyka liczb kardynalnych znacznie różni się od arytmetyki liczb rzeczywistych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że wiele stwierdzeń dotyczących działań na liczbach kardynalnych jest niezależnych od standardowych aksjomatów teorii mnogości (aksjomaty Zermela-Fraenkla).
W dalszej części tego artykułu zakładamy aksjomaty Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru niektóre z definicji należy sformułować inaczej i wiele z prezentowanych faktów nie jest prawdziwych).
Definicje
Pojęcia wstępne
- Liczba porządkowa
jest początkową liczbą porządkową jeśli
nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi. - Przy założeniu teorii ZFC każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez
![{\displaystyle |A|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe89039131b44a7e1fed24e37c3b84bca8b3898)
- Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to
moc zbioru wszystkich liczb naturalnych. - Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej
to najmniejsza liczba kardynalna
taka, że każdy zbiór mocy
może być przedstawiony jako suma
wielu zbiorów mocy mniejszej niż ![{\displaystyle \kappa {:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df39b0a68e17eeba85c149dc95db180c63fd9bb4)
dla pewnych zbiorów
takich, że
(dla wszystkich
) ![{\displaystyle \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656af96b6145635f70132969d6c721c6dbe68810)
- Jeśli
to mówimy że
jest regularną liczbą kardynalną. Liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.
- Następnik liczby kardynalnej
to pierwsza liczba kardynalna większa od
(jest on oznaczany przez
).
Działania dwuargumentowe
Określamy następujące działania dwuargumentowe na liczbach kardynalnych. Niech
będą liczbami kardynalnymi.
- Dodawanie liczb kardynalnych – sumą liczb
i
nazywamy moc sumy rozłącznych kopii
i ![{\displaystyle \kappa {:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df39b0a68e17eeba85c149dc95db180c63fd9bb4)
![{\displaystyle \mu +\kappa =|(\mu \times \{0\})\cup (\kappa \times \{1\})|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39536d38eb591a542c454322698bd2dd6ef9e252)
- Mnożenie liczb kardynalnych – iloczynem liczb
i
nazywamy moc iloczynu kartezjańskiego zbiorów
i ![{\displaystyle \mu {:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4619475a01198282133163b502223b4e2b666e8)
![{\displaystyle \kappa \cdot \mu =\vert \kappa \times \mu \vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71fe5b3affac2c52a53c739c337ada12b49a71e1)
- Potęgowanie liczb kardynalnych – przez
rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji z
w ![{\displaystyle \kappa {:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df39b0a68e17eeba85c149dc95db180c63fd9bb4)
![{\displaystyle \kappa ^{\mu }=|{}^{\mu }\kappa |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5051a1c735f600caceefb28a2cc183896e1a17)
- Definiujemy również słabą potegę
jako
![{\displaystyle \kappa ^{<\mu }=\sup\{\kappa ^{\lambda }:\lambda \in {\mathbf {CN} }\ \wedge \ \lambda <\mu \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96072ebaebf5a4e57094444dd1a69d957f2e7c91)
Działania nieskończone
Niech
będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy
- sumę
oraz - produkt
![{\displaystyle \prod \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\left|\left\{f:f:I\longrightarrow \bigcup \limits _{i\in I}\kappa _{i}\ \wedge \ (\forall i\in I)(f(i)\in \kappa _{i})\right\}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98900c40f7bc3d4a3eec48b3098d015827bef26c)
Przykłady wyników klasycznych
- Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych
mamy:
- Jeśli
to ![{\displaystyle \kappa +\mu =\max(\kappa ,\mu )=\kappa \cdot \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c236417ef7b6df385b03db1f69e833db486eb2c3)
- Jeśli
to
oraz ![{\displaystyle \lambda ^{\kappa }\leqslant \lambda ^{\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac39ad5231e7a4c52b5cc9c66248fe41927e191d)
- Jeśli
to
oraz ![{\displaystyle \lambda ^{\kappa }=\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fbce9b54f2c2392453dadf23655f7070d5973e)
jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów
Jeśli
oraz
jest nieskończona, to
oraz ![{\displaystyle \kappa ^{<\mu }=\left|\left\{A\subseteq \kappa :|A|<\mu \right\}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e7e3cc282d6cdc8b8f8771d85d1366c9a7353e)
i ![{\displaystyle (\kappa \cdot \mu )^{\lambda }=\kappa ^{\lambda }\cdot \mu ^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0bd7038b8a5535d12d2f4e8c3b83dda8bb5a317)
- Jeśli
są nieskończone, to
(twierdzenie Hausdorffa). - Jeśli
jest nieskończone, to
oraz ![{\displaystyle \kappa <\mathrm {cf} (2^{\kappa }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68b218f8ed67c335bb1c12892cd2670f5276d96)
- Przypuśćmy, że
są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych, ![{\displaystyle I\neq \emptyset .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea25eeda79449409e22f6dc63dbf3ff800a7fe4b)
Jeśli więc
to
Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy
dla różnych ![{\displaystyle i,j\in I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f89d0534d35d9ebf81e51fb4d02bf53b0b0c4a)
- Jeśli
dla wszystkich
to
(twierdzenie Königa).
GCH i SCH
- Uogólniona hipoteza continuum (GCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej liczby kardynalnej
zachodzi
. Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza:
- Załóżmy GCH. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych
oraz
mamy
| | | ![{\displaystyle \kappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d) | | jeśli | | ![{\displaystyle \lambda <\mathrm {cf} (\kappa ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ed5fc8457d1a1a00cd7766e21426ac7dce43da) | | | | ![{\displaystyle \kappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d) | | jeśli | | ![{\displaystyle \lambda \leqslant \mathrm {cf} (\kappa ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613d15f3e184484f426cdebabcf21a856f4a8297) | | |
| ![{\displaystyle \kappa ^{\lambda }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd2320121b2119a9ee44a28e9b7146c5bb7e103) | | ![{\displaystyle \kappa ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7d17d0b32a3c5e666cc418d83ef1e0eae79b5c) | | jeśli | | ![{\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )\leqslant \lambda <\kappa ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d0f6f74c6e587d1ef870a25665c28acbdb4751) | oraz | ![{\displaystyle \kappa ^{<\lambda }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cedd5e64c165d934d771d0ad7a253a29f2f500) | | ![{\displaystyle \kappa ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7d17d0b32a3c5e666cc418d83ef1e0eae79b5c) | | jeśli | | | |
| | | ![{\displaystyle \lambda ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c84f0723364f838bbe469a1fc2fb52ede4d844a) | | jeśli | | ![{\displaystyle \kappa \leqslant \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba682384e9d7acb91d0f6d4dc8bada2d5d4c2f4) | | | | ![{\displaystyle \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a) | | jeśli | | ![{\displaystyle \kappa ^{+}<\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549e50b8be6681d72233af5e872ef7bd7720fd95) | |
- Hipoteza liczb singularnych (ang. singular cardinal hypothesis, SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej
jeśli
to
. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję ![{\displaystyle \kappa \mapsto 2^{\kappa }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f4fc4bee0ac549aac0c746e648bce19deb8b43)
- Załóżmy SCH. Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych
mamy
| | | ![{\displaystyle \kappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d) | | jeśli | | oraz ![{\displaystyle \lambda <\mathrm {cf} (\kappa ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ed5fc8457d1a1a00cd7766e21426ac7dce43da) | | |
| ![{\displaystyle \kappa ^{\lambda }=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd2320121b2119a9ee44a28e9b7146c5bb7e103) | | ![{\displaystyle \kappa ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7d17d0b32a3c5e666cc418d83ef1e0eae79b5c) | | jeśli | | oraz ![{\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )\leqslant \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57631d85f679059e57de4370519587ed0ed675cf) | | |
| | | ![{\displaystyle 2^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5a5aba115cfc951494fd40a653261437a1be86) | | jeśli | | ![{\displaystyle \kappa \leqslant 2^{\lambda }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29522edf312913aa2a8db68c8c86987c24405e5) | |
- Ponadto, jeśli
jest liczbą singularną to - (a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej
mamy iż
to ![{\displaystyle 2^{\kappa }=2^{<\kappa },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afc6bb88079e1fb337fce09914c1f8cc19d2460)
- (b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to
![{\displaystyle 2^{\kappa }=\left(2^{<\kappa }\right)^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b283494792dd0df1caacf801f4465c928129a65a)
- Warto zauważyć, że GCH jest niezależne od ZFC (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że GCH implikuje SCH. Ciekawym[według kogo?] wynikiem odkrytym[przez kogo?] niedawno[kiedy?] jest, że PFA również implikuje SCH. Naruszenia SCH związane są z dużymi liczbami kardynalnymi.
Przykłady wyników zaawansowanych
- Rozwijając metodę forsingu, w 1970 roku William Easton[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że
dla wszystkich regularnych
Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z ZFC, że
dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych ![{\displaystyle \kappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b15a4a55db753c5d952ba11b9d2d43924eeeaa)
- Jeśli
jest liczbą mierzalną oraz
dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej
to również ![{\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057a73f771c33f7cc276aa3a4a2efe1105c5da95)
- Jeśli zbiór
jest stacjonarny w
to ![{\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}^{\aleph _{1}}<\aleph _{\omega _{1}+\omega _{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0ba436e4c0f9cdbea8bff9c97995138935a345)
- Jeśli
oraz zbiór
jest stacjonarny w
to ![{\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057a73f771c33f7cc276aa3a4a2efe1105c5da95)
- W latach 90. XX wieku Saharon Szelach[2] rozwinął teorię PCF, która stała się jednym z głównych kierunków badań we współczesnej arytmetyce liczb kardynalnych. Wyniki tej teorii wykazują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z wyników teorii pcf można wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych, np. że
![{\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}\leqslant 2^{\aleph _{0}}+\aleph _{\omega _{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a501e71f7c16fa8b32b5a72a2d6b21513d1804)
- W głębszym zrozumieniu arytmetyki liczb kardynalnych pomoże książka Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego[3] lub monografia Thomasa Jecha[4] lub monografia M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza[5]
Przypisy
- ↑ Easton, William B.: Powers of regular cardinals. „Ann. Math. Logic” 1 (1970), s. 139–178.
- ↑ Shelah, Saharon: Cardinal arithmetic. „Oxford Logic Guides”, 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853785-9.
- ↑ Guzicki, Wojciech; Zbierski, Paweł: Podstawy teorii mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.
- ↑ Jech, Thomas: Set theory. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2.
- ↑ Holz, M.; Steffens, K.; Weitz, E.: Introduction to cardinal arithmetic. „Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher”. Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. ISBN 3-7643-6124-7.
główne | |
---|
dyscypliny z arytmetyką w nazwie | |
---|
działy ogólne | według trudności | |
---|
według celu | |
---|
inne | |
---|
|
---|
działy czyste | |
---|
działy stosowane | |
---|
powiązane zajęcia | |
---|